第十章基礎資產(chǎn)價格的變動_隨機微分方程(已修改)
2025-01-26 23:11 本頁面
【正文】 第九章 基礎資產(chǎn)價格的變動 隨機微分方程 第一節(jié) 引 言 第二節(jié) 隨機微分方程的求解 第三節(jié) 隨機微分方程的主要形式 第四節(jié) 股票價格對數(shù)正態(tài)分布的特性 第一節(jié) 引 言 隨機微分方程 ttttdWtSdttSadS ),(),( ???即將隨機價格的變動分解為可預測和不可預測兩部分，且分解過程用到在時刻 t的信息集。 對于不同的市場參與者來說他擁有不同的信息集，那么隨機微分方程的含義不同。 如：假如一個市場參與者擁有“內(nèi)幕信息”，可事先獲知影響價格變動的所有隨機事件，則在這種（非現(xiàn)實）情況下上式中的擴展項等于零。 首頁 隨機微分方程的具體形式以及誤差項 的定義都要依賴于信息集 即維納過程 與信息集 相對應。 原因 參與者知道 將如何變化，他就能完全預測這一變量，即對任一時刻而言都有 因此這類參與者的隨機微分方程可寫作 tdS dttSadStt ),(??而其他參與者的隨機微分方程則是不變。 表明 {tI ， ],0[ Tt ? }0?tdWtdWtdWtI首頁 隨機微分方程可用于對衍生金融資產(chǎn)定價的原因 對于標的資產(chǎn)的價格是如何隨時間而發(fā)生變動 ，此方程不但給出一個規(guī)范的模型 ， 而且其推導過程與金融市場中的交易者行為是一致的 。 實際上：在一個給定的交易日中 ， 隨著時間的推移 ， 交易者總是不斷地預測資產(chǎn)的價格并隨時記錄新事件的發(fā)生 。 這些事件中總會包含一些不可預測的部分 ， 但過后這些不可預測部分也會被觀測 ， 此時這些事件均已成為已知事件 ，并變?yōu)榻灰渍邠碛械男滦畔⒓囊徊糠?。 首頁 隨機微分方程模型一般條件 即隨著時間地推移 ， 主參數(shù)和擴展參數(shù)不會發(fā)生太大幅度地變動 。 1)|),(|( 0 ???? duuSaP t u 1)),(( 20 ???? duuSPtu?返回 首頁 第二節(jié) 隨機微分方程的求解 隨機微分方程所含未知數(shù)是一個隨機過程 ，因而求其解就是要找尋一個隨機過程，使其運動軌跡及發(fā)生概率都與其它需準確測量的軌跡相關聯(lián)。 tS一、解的含義 首頁 觀察在很短的且不連續(xù)的時間間隔上的有限差 若此方程的解是一個隨機過程 ，則意味著 如何找到一系列用 ｋ 來標識的隨機變量，以滿足上式中的增量 tS kkkkk WkShkSaSS ???? ??? ),(),( 111 ?nk ?2,1?kS?能否知道滿足方程的隨機過程 的時態(tài)函數(shù)和分布函數(shù)。 t對任一給定的 和 ，能否找到一系列的隨機數(shù)對于所有的 ｋ 而言都滿足上面的等式。 )(?a )(??首先 首頁 再尋求當時間間隔 h趨于 0時的方程的解 其次 如果連續(xù)的時間過程 ， tS滿足下列方程 則定義 是隨機微分方程 的解。 對于所有的 0?t utututu dWuSduuSadS ),(),( 000 ??? ?? ?tttt dWtSdttSadS ),(),( ???tS首頁 則隨機過程 ： 二、解的類型 1．強解 已知主參數(shù) ，擴展參數(shù) 以及隨機變動項 稱為隨機微分方程 的強解。 ututut dWuSduuSaSS ),(),( 000 ?? ??? ?tttt dWtSdttSadS ),(),( ???tS tdW強解與一般微分方程的解是相似的 注 )(?a )(??首頁 2．弱解 其中 是一維納過程 . 求得過程 已知主參數(shù) ，擴展參數(shù) )(?a )(??st~ )~,(~ tt WtfS ?tW~使其滿足下面隨機微分方程 utututu dWuSduuSadS ),(),( 000 ??? ?? ?則稱 是隨機微分方程的弱解。 st~ 首頁 與 的區(qū)別 相同點 tdWtWd~都是均
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