第十章基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)_隨機(jī)微分方程(已修改)
2025-01-26 23:11 本頁面
【正文】 第九章 基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng) 隨機(jī)微分方程 第一節(jié) 引 言 第二節(jié) 隨機(jī)微分方程的求解 第三節(jié) 隨機(jī)微分方程的主要形式 第四節(jié) 股票價(jià)格對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特性 第一節(jié) 引 言 隨機(jī)微分方程 ttttdWtSdttSadS ),(),( ???即將隨機(jī)價(jià)格的變動(dòng)分解為可預(yù)測(cè)和不可預(yù)測(cè)兩部分，且分解過程用到在時(shí)刻 t的信息集。 對(duì)于不同的市場(chǎng)參與者來說他擁有不同的信息集，那么隨機(jī)微分方程的含義不同。 如：假如一個(gè)市場(chǎng)參與者擁有“內(nèi)幕信息”，可事先獲知影響價(jià)格變動(dòng)的所有隨機(jī)事件，則在這種（非現(xiàn)實(shí)）情況下上式中的擴(kuò)展項(xiàng)等于零。 首頁 隨機(jī)微分方程的具體形式以及誤差項(xiàng) 的定義都要依賴于信息集 即維納過程 與信息集 相對(duì)應(yīng)。 原因 參與者知道 將如何變化，他就能完全預(yù)測(cè)這一變量，即對(duì)任一時(shí)刻而言都有 因此這類參與者的隨機(jī)微分方程可寫作 tdS dttSadStt ),(??而其他參與者的隨機(jī)微分方程則是不變。 表明 {tI ， ],0[ Tt ? }0?tdWtdWtdWtI首頁 隨機(jī)微分方程可用于對(duì)衍生金融資產(chǎn)定價(jià)的原因 對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格是如何隨時(shí)間而發(fā)生變動(dòng) ，此方程不但給出一個(gè)規(guī)范的模型 ， 而且其推導(dǎo)過程與金融市場(chǎng)中的交易者行為是一致的 。 實(shí)際上：在一個(gè)給定的交易日中 ， 隨著時(shí)間的推移 ， 交易者總是不斷地預(yù)測(cè)資產(chǎn)的價(jià)格并隨時(shí)記錄新事件的發(fā)生 。 這些事件中總會(huì)包含一些不可預(yù)測(cè)的部分 ， 但過后這些不可預(yù)測(cè)部分也會(huì)被觀測(cè) ， 此時(shí)這些事件均已成為已知事件 ，并變?yōu)榻灰渍邠碛械男滦畔⒓囊徊糠?。 首頁 隨機(jī)微分方程模型一般條件 即隨著時(shí)間地推移 ， 主參數(shù)和擴(kuò)展參數(shù)不會(huì)發(fā)生太大幅度地變動(dòng) 。 1)|),(|( 0 ???? duuSaP t u 1)),(( 20 ???? duuSPtu?返回 首頁 第二節(jié) 隨機(jī)微分方程的求解 隨機(jī)微分方程所含未知數(shù)是一個(gè)隨機(jī)過程 ，因而求其解就是要找尋一個(gè)隨機(jī)過程，使其運(yùn)動(dòng)軌跡及發(fā)生概率都與其它需準(zhǔn)確測(cè)量的軌跡相關(guān)聯(lián)。 tS一、解的含義 首頁 觀察在很短的且不連續(xù)的時(shí)間間隔上的有限差 若此方程的解是一個(gè)隨機(jī)過程 ，則意味著 如何找到一系列用 ｋ 來標(biāo)識(shí)的隨機(jī)變量，以滿足上式中的增量 tS kkkkk WkShkSaSS ???? ??? ),(),( 111 ?nk ?2,1?kS?能否知道滿足方程的隨機(jī)過程 的時(shí)態(tài)函數(shù)和分布函數(shù)。 t對(duì)任一給定的 和 ，能否找到一系列的隨機(jī)數(shù)對(duì)于所有的 ｋ 而言都滿足上面的等式。 )(?a )(??首先 首頁 再尋求當(dāng)時(shí)間間隔 h趨于 0時(shí)的方程的解 其次 如果連續(xù)的時(shí)間過程 ， tS滿足下列方程 則定義 是隨機(jī)微分方程 的解。 對(duì)于所有的 0?t utututu dWuSduuSadS ),(),( 000 ??? ?? ?tttt dWtSdttSadS ),(),( ???tS首頁 則隨機(jī)過程 ： 二、解的類型 1．強(qiáng)解 已知主參數(shù) ，擴(kuò)展參數(shù) 以及隨機(jī)變動(dòng)項(xiàng) 稱為隨機(jī)微分方程 的強(qiáng)解。 ututut dWuSduuSaSS ),(),( 000 ?? ??? ?tttt dWtSdttSadS ),(),( ???tS tdW強(qiáng)解與一般微分方程的解是相似的 注 )(?a )(??首頁 2．弱解 其中 是一維納過程 . 求得過程 已知主參數(shù) ，擴(kuò)展參數(shù) )(?a )(??st~ )~,(~ tt WtfS ?tW~使其滿足下面隨機(jī)微分方程 utututu dWuSduuSadS ),(),( 000 ??? ?? ?則稱 是隨機(jī)微分方程的弱解。 st~ 首頁 與 的區(qū)別 相同點(diǎn) tdWtWd~都是均
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