第十章基礎資產價格的變動_隨機微分方程-wenkub
2023-02-06 23:11:23 本頁面
【正文】 基礎資產價格的變動 隨機微分方程 第一節(jié) 引 言 第二節(jié) 隨機微分方程的求解 第三節(jié) 隨機微分方程的主要形式 第四節(jié) 股票價格對數(shù)正態(tài)分布的特性 第一節(jié) 引 言 隨機微分方程 ttttdWtSdttSadS ),(),( ???即將隨機價格的變動分解為可預測和不可預測兩部分，且分解過程用到在時刻 t的信息集。 原因 參與者知道 將如何變化，他就能完全預測這一變量，即對任一時刻而言都有 因此這類參與者的隨機微分方程可寫作 tdS dttSadStt ),(??而其他參與者的隨機微分方程則是不變。 首頁 隨機微分方程模型一般條件 即隨著時間地推移 ， 主參數(shù)和擴展參數(shù)不會發(fā)生太大幅度地變動 。 )(?a )(??首先 首頁 再尋求當時間間隔 h趨于 0時的方程的解 其次 如果連續(xù)的時間過程 ， tS滿足下列方程 則定義 是隨機微分方程 的解。 dt從這個意義上來講，這兩個隨機誤差項之間不存在什么區(qū)別。這一系列小事件形成的“歷史”就是 ｔ 時刻的信息集 。 st~ tItWd ~ tWd ~tH tH tttt WdtSdttSaSd ~),~(),~(~ ???說明 2 因此，弱解需要滿足 首頁 強解和弱解具有相同的主項和擴展項，因此 和 具有相似的統(tǒng)計特性。 tW首頁 四、隨機微分方程解的證明 看一個特殊的隨機微分方程： 即在對看漲期權定價之中運用的布萊克 ——休斯模型。 因此，求得隨機微分方程的強解為： tWtt eSS??? ??? )21(02首頁 要求隨機微分方程的強解，應考慮備選解法，即找出依賴于參數(shù)的函數(shù)，如 然后運用伊藤定理來檢驗這一備選項是否滿足隨機微分方程或相應的積分方程。（簡單） 首先，令 tWt ez ??其次，用伊藤定理 dtedWedz tt WtWt ?? ?? 221??再次，考慮相應的積分方程 ?? ??? t Wt sWt dsedWezz ss 0 200 21 ?? ??最后，兩邊求均值 ]21[][][][0200 ????? t Wt sWt dseEdWeEzEzE ss ?? ??而 1][ 0 ?zE 0][ 0 ??tsW dWeE s??首頁 故 ??? t st dszEzE 0 2 ][211][ ?若記 tt xzE ?][則有 ??? t st dsxx 0 2211 ?所以 tt xdtdx 221 ??且 10 ?x故得 tt ex221 ??即 tt ezE221][ ??從而 ][ Tt SE ][)21(02TtTr zEeS ???首頁 即 ][ Tt SE]|[2221)21(0 tTTr IeEeS ????)( tTrt eS ?? )( tTrt eS ??所以 tS ][)( TttTr SEe ???][ )(21)21(022 tTWTr eeeS t ??? ??? ]|[)(2121)21(0222ttTtTr IeeEeS ??? ???]|[ )(2121)21(0222ttTtTr IeEeeS ?? ?? ???]|[][ )(21)21(022ttTtTr IeEzEeS ?? ?? ??首頁 特別 ][00 TrT SEeS ??即當時間 t = 0時，資產價格等于預期將來的價格用折現(xiàn)率 r來進行折現(xiàn)。 常系數(shù)的隨機微分方程描述的是資產價格圍繞線性趨勢進行的一種波動。 對大多數(shù)資產價格來說 ， 這種指數(shù)趨勢似乎更符合實際 。 2tSt誤差項的方差與 是成比例的。 過程 可與長期趨勢發(fā)生較小的偏離 ，但最終會回復到正常趨勢 ， 這種偏離的平均度是由參數(shù) 來控制的 ， 但參數(shù)變小時 ，
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