數(shù)值分析--第6章解線性方程組的迭代法-文庫吧資料
2024-09-05 01:55本頁面
【正文】 組的斂散性。，迭代法收斂與否只決定于迭代矩陣的譜半徑，與初始向量以方程組的右端項無關(guān)。證明 設(shè)有特征值。推論1 對任一種矩陣范數(shù)，若，則收斂。充分性。證明 必要性。利用極限，得到所以的充要條件是，即。以為例由于，其中為階單位陣。引進記號表示階方陣，其元素僅在對角線右上方第條平行線上的值為1，其余為0，即當時。例2 取，用超松弛法求解方程組解 迭代公式為3 迭代法的收斂性 一階定常迭代法的基本定理 設(shè)，則（零矩陣）的充分必要條件是矩陣的譜半徑。容易驗證，方程組的精確解為。5．若，置，轉(zhuǎn)3；否則，輸出失敗信息，停機。1．輸入，維數(shù)，最大容許迭代次數(shù)。當為低松弛，是GaussSeidel迭代，當時稱為超松弛法，簡稱SOR法。于是有可以把看作GaussSeidel迭代的修正項，即第次近似解以此項修正后得到的近似解。這就是SOR方法的基本思想。對一個收斂的GaussSeidel迭代法，第次的迭代結(jié)果一般要比第次的好。 SOR迭代法解線性方程組的超松弛法，也叫SOR法，是目前求解大型方程組的一種最常用的方法。2．置3．計算4．若，輸出，停機，否則轉(zhuǎn)5。其迭代公式為 (67)式(67)的矩陣形式為因此迭代法的矩陣形式為 (68)其中。 GaussSeidel（高斯賽德爾）迭代法在Jacobi迭代法中，是用的全部分量來計算的全部分量的，然而在計算分量時，都已經(jīng)算出，如果Jacobi迭代法收斂，試想用多迭代一次的代替來計算，可望取得更好的結(jié)果。2．置3．對4．若，輸出，停機，否則轉(zhuǎn)5。式(65)為迭代法的分量形式，它可用于計算迭代近似解；式(66)為迭代法的矩陣形式，它主要用于驗證迭代法是否收斂及定性分析。(63)等價變形為有 (64)由此構(gòu)造迭代公式 (65)記則。顯然，若按式(62)產(chǎn)生的向量序列收斂于向量，則有即是方程組(61)的解。稱為迭代矩陣。充分性得證。若依次取個單位向量，其中的第個分量為1，其它分量為零。 的充分必要條件是其中兩個極限的右端分別指零矩陣和零向量。 中的矩陣序列收斂于中的矩陣的充要條件為證明留給讀者。 中的向量序列收斂于中的向量當且僅當其中。 向量序列和矩陣序列的極限
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