[經(jīng)濟(jì)學(xué)]第六章解線性方程組的迭代法-文庫吧資料
2025-01-25 16:41本頁面
【正文】 bAx ?,12361114238?????????????A方程組的精確解是 . Tx )1,2,3(* ?求解方程組 其中 ,321???????????xxxx .363320???????????b現(xiàn)將 ()改寫為 5 ????????????????????).3636(121),334(111),2023(81213312321xxxxxxxxx（ ） 或?qū)憺? , fxBx ??0,01231261110114828300?????????????????????B其中 .12361133820?????????????????f6 將這些值代入 () 式右邊 (若 ()式為等式即求得方程組的解，但一般不滿足 ). 任取初始值，例如取 . Tx )0,0,0()0( ?,)3,3,(),( )1(3)1(2)1(1)1( TTxxxx ??再將 分量代入 ()式右邊得到 ，反復(fù)利用這個(gè)計(jì) 算程序，得到一向量序列和一般的計(jì)算公式 (迭代公式 ) )1(x )2(x?? ,)(3)(2)(1)()1(3)1(2)1(1)1()0(3)0(2)0(1)0(?????????????????????????????????kkkkxxxxxxxxxxxx 得到新的值 7 ????????? ???? ,8/)2023( )(3)(2)1(1kkkxxx,11/)334( )(3)(1)1(2 ????? kkk xxx （ ） .12/)3636( )(2)(1)1(3 ????? kkk xxx簡(jiǎn)寫為 ,)(0)1( fxBx kk ???其中 表示迭代次數(shù) k ).,2,1,0( ??k 迭代到第 10次有 。)9 9 9 8 8 1 ,9 9 9 8 3 ,0 0 0 0 3 ()10( Tx ?8 從此例看出，由迭代法產(chǎn)生的向量序列 逐步逼近 )(kx方程組的精確解 . *x 對(duì)于任何由 變形得到的等價(jià)方程組 ， fBxx ??bAx?迭代法產(chǎn)生的向量序列 不一定都能逐步逼近方程組 的解 . )(kx*x* ) .( )10()10()10( xx ???? ?? 如對(duì)方程組 ???????.53,521221xxxx9 構(gòu)造迭代法 ?????????.53,52)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx則對(duì)任何的初始向量，得到的序列都不收斂 . 對(duì)于給定方程組 ， fBxx ?? 設(shè)有唯一解 ， *x.** fBxx ??（ ） 又設(shè) 為任取的初始向量， )0(x,2,1,0,)()1( ????? kfBxx kk （ ） 其中 表迭代次數(shù) . k則 按下述公式構(gòu)造向量序列 10 定義 1 (1) 對(duì)于給定的方程組 ， fBxx ??逐步代入求近似解的方法稱為 迭代法 (或稱為一階定常迭代 法，這里 與 無關(guān) ). B k (2) 如果 存在 (記為 )， )(lim kk x??*x顯然 就是方程組的解，否則稱此 迭代法發(fā)散 . *x用公式 () 稱此 迭代法收斂 ， 研究 的收斂性 . }{ )(kx 引進(jìn)誤差向量 *,)1()1( xx kk ?? ???由 ()減去 ()式， 得 ， ),2,1,0()()1( ???? kB kk ??11 要考察 的收斂性 , 就要研究 在什么條件下有 }{ )(kx B0lim )( ??? kk ?.0lim ( 零矩陣)??? kk B亦即要研究 滿足什么條件時(shí)有 B)1()( ?? kk B ??遞推得 .)0(?kB?? ?12 Jacobi迭代法與 GaussSeidel迭代法 設(shè)有 ,bAx ?（ ） 其中， 為非奇異矩陣 . nnijaA ??? R)( 將 分裂為 A,NMA ??（ ） 其中， 為可選擇的非奇異矩陣，且使 容易求解， MdMx ?一般選擇為 的某種近似，稱 為 分裂矩陣 . A M13 于是，求解 轉(zhuǎn)化為求解 ， bAx ? bNxMx ??.11 bMNxMxbAx ?? ???? 求解即求解 可構(gòu)造一階定常迭代法 ??????? ?,2,1,0,)()1()0(kfBxxxkk），（ 初始向量（ ） 其中 NMB 1??.1bMf ??)(1 AMM ?? ? ,1 AMI ???稱 為迭代法的迭代矩陣 . AM
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