四川省自貢市20xx年高考數(shù)學(xué)一診試卷文科-文庫(kù)吧資料
2024-11-20 05:54本頁(yè)面
【正文】 C1﹣ ABA1的體積． 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān) 系． 【分析】 （ 1）取 AC 中點(diǎn) O，連 A1O， BO，由已知得 A1O⊥ AC， BO⊥ AC，從而 AC⊥ 平面 A1OB，由此能證明 AC⊥ A1B． （ 2）由 ，利用等積法能求出三棱錐 C1﹣ ABA1的體積． 【解答】 （ 1）證明：取 AC 中點(diǎn) O，連 A1O， BO． ∵ AA1=A1C， ∴ A1O⊥ AC， …1 分 又 AB=BC， ∴ BO⊥ AC， …2 分 ∵ A1O∩BO=O， ∴ AC⊥ 平面 A1OB， …3 分 又 A1B? 平面 A1OB， …4 分 ∴ AC⊥ A1B…5 分 （ 2）解：由條件得： …6 分 ∵ 三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，側(cè)面 AA1C1C⊥ 底面 ABC， AA1=A1C=AC=2， AB=BC 且 AB⊥ BC， ∴ ， ， …9 分 ∴ = …10 分 = ． …12 分 21．已知函數(shù) f（ x） =ex﹣ x+ 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） g（ x） = +ax+b（ a∈ R， b∈ R）． （ Ⅰ ）求 f（ x）的極值； （ Ⅱ ）若 f（ x） ≥ g（ x），求 b（ a+1）的最大值． 【考點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】 （ Ⅰ ）利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性，可得極值． （ Ⅱ ）利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性，構(gòu)造 b（ a+1），求其最大值． 【解答】 解：（ Ⅰ ）函數(shù) f（ x） =ex﹣ x+ ， 則 f′（ x） =ex+x﹣ 1， ∵ f′（ x） =ex+x﹣ 1 在 R 上遞增，且 f′（ 0） =0， ∴ 當(dāng) x＜ 0 時(shí)， f′（ x） ＜ 0， ∴ 當(dāng) x＞ 0 時(shí)， f′（ x） ＞ 0， 故 x=0 為極值點(diǎn)： f（ 0） = （ Ⅱ ） g（ x） = +ax+b， f（ x） ≥ g（ x），即 ex﹣ x+ ≥ +ax+b，等價(jià)于 h（ x） =ex﹣ x（ a+1）﹣ b≥ 0， 得： h′（ x） =ex﹣（ a+1） ① 當(dāng)（ a+1） ＜ 0 時(shí)， h′（ x）在 R 上單調(diào)性遞增， x∈ ﹣ ∞ 時(shí)， h（ x） →﹣ ∝ 與 h（ x） ≥ 0相矛盾． ② 當(dāng)（ a+1） ＞ 0 時(shí)， h′（ x） ＞ 0，此時(shí) x＞ ln（ a+1）， h′（ x） ＜ 0，此時(shí) x＜ ln（ a+1）， 當(dāng) x=ln（ a+1）時(shí)， h（ x）取得最小值為 h（ x） min=（ a+1）﹣（ a+1） ln（ a+1）﹣ b 即（ a+1）﹣（ a+1） ln（ a+1） ≥ b 那么： b（ a+1） ≤ （ a+1） 2﹣（ a+1） 2ln（ a+1） 令 F（ x） =（ a+1） x2﹣ x2lnx，（ x＞ 0） 則 F′（ x） =x（ 1﹣ 2lnx） ∴ F′（ x） ＞ 0，可得 ， F′（ x） ＜ 0，可得 ． 當(dāng) x= 時(shí)， F（ x）取得最大值為 ． 即當(dāng) a= ， b= 時(shí)， b（ a+1）取得最大值為 ． 故得 b（ a+1）的最大值為 ． 請(qǐng)考 生在第 2 23中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． [選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ]（共 1小題，滿(mǎn)分 10分） 22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn) l的參數(shù)方程為 （其中 t 為參數(shù)），現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn) C 的極坐標(biāo)方程為 ρ=4cosθ． （ Ⅰ ）寫(xiě)出直線(xiàn) l和曲線(xiàn) C 的普通方程； （ Ⅱ ）已知點(diǎn) P 為曲線(xiàn) C 上的動(dòng)點(diǎn)，求 P 到直線(xiàn) l的距離的最小值． 【考點(diǎn)】 直線(xiàn)的參數(shù)方程；簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程． 【分析】 （ Ⅰ ）消去參數(shù) t 即可得到直線(xiàn) l的普通方程；利用 x=ρcosθ， y=ρsinθ 將曲線(xiàn) C 轉(zhuǎn)化為普通方程； （ Ⅱ ）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求出 P 到直線(xiàn) l的距離的最小值，再根據(jù)函數(shù)取最值的情況求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)，得到本題結(jié)論． 【解答】 解：（ Ⅰ ）直線(xiàn) l： （其中 t 為參數(shù)），消去參數(shù) t得普通方程 y=x﹣ 4． 由 ρ=4cosθ 得 ρ2=4ρcosθ． 由 x=ρcosθ， y=ρsinθ 以及 x2+y2=ρ2，得 x2+（ y﹣ 2） 2=4； （ Ⅱ ）由 x2+（ y﹣ 2） 2=4 得圓心坐標(biāo)為（ 0， 2），半徑 R=2， 則圓心到直線(xiàn)的距離為： d= =3 ， 而點(diǎn) P 在圓上，即 O′P+PQ=d（ Q 為圓心到直線(xiàn) l的垂足）， 所以點(diǎn) P 到直線(xiàn) l的距離最小值為 3 ﹣ 2． [選修 45 不等式選講 ]（共 1 小題，滿(mǎn)分 0分） 23．已知 a 是常數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù) x，不等式 |x+1|﹣ |2﹣ x|≤ a≤ |x+1|+|2﹣ x|都成立． （ Ⅰ ）求 a 的值； （ Ⅱ ）設(shè) m＞ n＞ 0，求證： 2m+ ≥ 2n+a． 【考點(diǎn)】 不等式的證明；絕對(duì)值不等式的解法． 【分析】 （ Ⅰ ）利用絕對(duì)值不等式求最值，即可求 a 的值； （ Ⅱ ）作差，利用基本不等式證明結(jié)論． 【解答】 （ Ⅰ ）解： |x+1|﹣ |2﹣ x|≤ |x+1+2﹣ x|=3， 3=|x+1+2﹣ x|≤ |x+1|+|2﹣ x| ∵ 對(duì)任意實(shí)數(shù) x，不等式 |x+1|﹣ |2﹣ x|≤ a≤ |x+1|+|2﹣ x|都成立， ∴ a=3； （ Ⅱ ）證明： 2m+ ﹣ 2n=（ m﹣ n） +（ m﹣ n） + ， ∵ m＞ n＞ 0， ∴ （ m﹣ n） +（ m﹣ n） + ≥ 3 =3， ∴ 2m+ ﹣ 2n≥ 3， 即 2m+ ≥ 2n+a． 2017 年 1 月 12 日 。（
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