四川省自貢市20xx年高考數(shù)學(xué)一診試卷文科(參考版)
2024-11-16 05:54本頁面
【正文】 （ x） =0 有實數(shù)解 x0，則稱點（ x0， f（ x0））為函數(shù) f（ x）的拐點．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù) f（ x） =ax3+bx2+cx+d（ a≠ 0）都有拐點，任何一個 三次函數(shù)都有對稱中心，且拐點就是對稱中心， 設(shè)函數(shù) g（ x） =x3﹣ 3x2+4x+2，利用上述探究結(jié)果 計算： = 76 ． 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】 根據(jù)函數(shù) g（ x）的解析式求出 g′（ x）和 g″（ x），令 g″（ x） =0，求得 x的值，由此求得三次函數(shù) g（ x）的對稱中心．由于函數(shù)的對稱中心為（ 1， 4），可知 g（ x） +f（ 2﹣ x）=8，由此能夠求出所給的式子的值． 【解答】 解：由 g（ x） =x3﹣ 3x2+4x+2， 得： g′（ x） =3x2﹣ 6x+4， g″（ x） =6x﹣ 6， 令 g″（ x） =0，解得： x=1， ∴ 函數(shù) g（ x）的對稱中心是（ 1， 4）， ∴ g（ 2﹣ x） +g（ x） =8， 故設(shè) =m， 則 g（ ） +g（ ） +g（ ） +…+g（ ） =m， 兩式相加得： 8 19=2m，解得： m=76， 故答案為： 76． 三．解答題（本大題共 5 小題，共 70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 17．在 △ ABC 中， A， B， C 的對邊分別為 a、 b、 c， ， △ ABC 的面積為 ． （ Ⅰ ）求 c 的值； （ Ⅱ ）求 cos（ B﹣ C）的值． 【考點】 余弦定理；兩角和與差的余弦函數(shù)． 【分析】 （ Ⅰ ）由已知利用三角形面積公式可求 a 的值，進而利用余弦定理可求 c 的值． （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）利用余弦定理可求 cosB的值，結(jié)合范圍 B∈ （ 0， π），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求 sinB，進而利用兩角差的余弦函數(shù)公式計算求值得解． 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解：（ Ⅰ ） ∵ ， △ ABC 的面積為 = absinC= sin ，解得：a=5， ∴ 由余弦定理可得： c= = =7…6 分 （ Ⅱ ） ∵ 由（ Ⅰ ）可得： cosB= = = ， 又 ∵ B∈ （ 0， π），可得： sinB= = ， ∴ cos（ B﹣ C） =cosBcos +sinBsin = + = …12 分 18．已知數(shù)列 {an}是公差為 2的等差數(shù)列，數(shù)列 {bn}滿足 ，若 n∈ N*時， anbn+1﹣ bn+1=nbn． （ Ⅰ ）求 {bn}的通項公式； （ Ⅱ ）設(shè) ，求 {Cn}的前 n 項和 Sn． 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 【分析】 （ Ⅰ ）令 n=1，可得 a1=3，結(jié)合 {an}是公差為 2的等差數(shù)列，可得 {an}的通項公式，將其代入已知條件 anbn+1﹣ bn+1=nbn 來求 {bn}的通項公式； （ Ⅱ ）利用裂項相消法求和． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵ anbn+1﹣ bn+1=nbn． 當(dāng) n=1 時， a1b2﹣ b2=b1． ∵ ， ∴ a1=3， 又 ∵ {an}是公差為 2 的等差數(shù)列， ∴ an=2n+1， 則（ 2n+1） bn+1﹣ bn+1=nbn． 化簡，得 2bn+1=bn，即 = ， 所以數(shù)列 {bn}是以 1 為首項，以 為公比的等比數(shù)列， 所以 bn=（ ） n﹣ 1； （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知， an=2n+1， 所以 = = （ ﹣ ）， 所以 Sn=c1+c2+c3+…+ = （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ） = （ ﹣ ） = ． 19．甲、乙兩位射擊運動員，在某天訓(xùn)練中已各射擊 10 次，每次命中的環(huán)數(shù)如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 （ Ⅰ ）通過計算估計，甲、乙二人的射擊成績誰更穩(wěn)； （ Ⅱ ）若規(guī)定命中 8 環(huán)及以上環(huán)數(shù)為優(yōu)秀，請依據(jù)上述數(shù)據(jù)估計，在第 11 次射擊時，甲、乙兩人分 別獲得優(yōu)秀的概率． 【考點】 古典概型及其概率計算公式． 【分析】 （ Ⅰ ）先求出平均數(shù)，再求出方差，由 ＜ ，知乙比甲的射擊成績更穩(wěn)． （ Ⅱ ）由題意得：甲運動員獲得優(yōu)秀的概率為 ，乙運動員獲得優(yōu)秀的概率為 ，則甲、乙在第 11 次射擊中獲得優(yōu)秀次數(shù) X 的要可能取值為 0， 1， 2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲、乙兩人分別獲得優(yōu)秀的概率． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵ x 甲 = ， x 乙 = （ 9+5+7+8+7+6+8+6+7+7） =7， ∴ S2 甲 = [（ 7﹣ 7） 2+（ 8﹣ 7） 2+（ 7﹣ 7） 2+（ 9﹣ 7） 2+（ 5﹣ 7） 2+（ 4﹣ 7） 2+（ 9﹣ 7） 2+（ 10﹣ 7） 2+（ 7﹣ 7） 2+（ 4﹣ 7） 2]=4， = [（ 9﹣ 7） 2+（ 5﹣ 7） 2+（ 7﹣ 7） 2+（ 8﹣ 7） 2+（ 7﹣ 7） 2+（ 6﹣ 7） 2+（ 8﹣ 7） 2+（ 6﹣ 7） 2+（ 7﹣ 7） 2+（ 7﹣ 7） 2]=， ∵ ＜ ， ∴ 乙比甲的射擊 成績更穩(wěn)． （ Ⅱ ）由題意得：甲運動員獲得優(yōu)秀的概率為 ，乙運動員獲得優(yōu)秀的概率為 ， 則甲、乙在第 11 次射擊中獲得優(yōu)秀次數(shù) X 的要可能取值為 0， 1， 2， ∴ P（ X=0） = ， P（ X=1） = ， P（ X=2） = ， ∴ 甲、乙兩人分別獲得優(yōu)秀的概率為： ． 20．如圖，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，側(cè)面 AA1C1C⊥ 底面 ABC， AA1=A1C=AC=2， AB=BC且 AB⊥ BC． （ 1）求證： AC⊥ A1B； （ 2）求三棱錐
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