空間向量的坐標(biāo)-文庫吧資料
2024-11-17 12:28本頁面
【正文】 正方向上的單位向量． 因為點 B 在坐標(biāo)平面 x Oy 內(nèi)，且底面正方形的中心為 O ，邊長為 2 ，所以 O B→＝ i ＋ j，所以向量O B→的坐標(biāo)為 ( 1 , 1 , 0 ) ，即點 B 的坐標(biāo)為 ( 1 , 1 , 0 ) ． 同理可得 A (1 ，－ 1 , 0 ) ， C ( － 1 , 1 , 0 ) ， D ( － 1 ，－1 , 0 ) ． 又點 P 在 z 軸上，所以 O P→＝ 2 k ， 所以向量 O P→＝ ( 0 , 0 , 2 ) ，即點 P 的坐標(biāo)為 ( 0 , 0 , 2 ) ． 因為 F 為側(cè)棱 PB 的中點，所以 O F→＝12( O B→＋ O P→)＝12( i ＋ j ＋ 2 k ) ＝12i ＋12j ＋ k ，所以點 F 的坐標(biāo)為(12，12， 1) ．同理點 E 的坐標(biāo)為 (12，－12， 1) ． 故所求各點的坐標(biāo)分別為 A (1 ，－ 1 , 0 ) ， B ( 1 , 1 , 0 ) ，C ( － 1 , 1 , 0 ) ， D ( － 1 ，－ 1 , 0 ) ， P ( 0 , 0 , 2 ) ， E (12，－12，1) ， F (12，12， 1) ． 自我挑戰(zhàn) 如圖，已知正方體 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1的棱長為 2 ，建立直角坐標(biāo)系，求正方體各頂點的坐標(biāo)及向量 BD 1→及 A 1 C→的坐標(biāo)． 解： 以頂點 A 為原點，建立空間直角坐標(biāo)系 A－ x y z ( 如圖 ) ，由正方體的棱長為 2 ， 得 A ( 0 , 0 , 0 ) ， B ( 2 , 0 , 0 ) ， C (2 ， 2 , 0 ) ， D ( 0 , 2 , 0 ) ，A1( 0 , 0 , 2 ) ， B1( 2 , 0 , 2 ) ， C1( 2 , 2 , 2 ) ， D1(0 ， 2 , 2 ) ． 而由題意知： AB→＝ 2 e1， AD→＝ 2 e2， AA1→＝ 2 e3，( e1， e2， e3) 是單位正交基底． ∴ BD1→＝ BD→＋ DD1→＝ AD→－ AB→＋ AA1→＝ 2 e2－ 2 e1＋ 2 e3＝－ 2 e1＋ 2 e2＋ 2 e3＝ ( － 2 , 2 , 2 ) ． 同理可得： A1C→＝ ( 2 , 2 ，－ 2) ． 向量的坐標(biāo)即終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)對應(yīng)的坐標(biāo)．求點的坐標(biāo)時，一定要注意向量的起點是否在原點．在原點時，向量的坐標(biāo)與終點坐標(biāo)相同；不在原點時，向量的坐標(biāo)加上起點坐標(biāo)才是終點坐標(biāo)． 空間向量的坐標(biāo)運算 例 3 已知 a
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