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正文內(nèi)容

空間向量的坐標(biāo)-文庫(kù)吧資料

2024-11-17 12:28本頁(yè)面
  

【正文】 正方向上的單位向量. 因?yàn)辄c(diǎn) B 在坐標(biāo)平面 x Oy 內(nèi),且底面正方形的中心為 O ,邊長(zhǎng)為 2 ,所以 O B→= i + j,所以向量O B→的坐標(biāo)為 ( 1 , 1 , 0 ) ,即點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ( 1 , 1 , 0 ) . 同理可得 A (1 ,- 1 , 0 ) , C ( - 1 , 1 , 0 ) , D ( - 1 ,-1 , 0 ) . 又點(diǎn) P 在 z 軸上,所以 O P→= 2 k , 所以向量 O P→= ( 0 , 0 , 2 ) ,即點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( 0 , 0 , 2 ) . 因?yàn)?F 為側(cè)棱 PB 的中點(diǎn),所以 O F→=12( O B→+ O P→)=12( i + j + 2 k ) =12i +12j + k ,所以點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(12,12, 1) .同理點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 (12,-12, 1) . 故所求各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (1 ,- 1 , 0 ) , B ( 1 , 1 , 0 ) ,C ( - 1 , 1 , 0 ) , D ( - 1 ,- 1 , 0 ) , P ( 0 , 0 , 2 ) , E (12,-12,1) , F (12,12, 1) . 自我挑戰(zhàn) 如圖,已知正方體 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1的棱長(zhǎng)為 2 ,建立直角坐標(biāo)系,求正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)及向量 BD 1→及 A 1 C→的坐標(biāo). 解: 以頂點(diǎn) A 為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系 A- x y z ( 如圖 ) ,由正方體的棱長(zhǎng)為 2 , 得 A ( 0 , 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 , 0 ) , C (2 , 2 , 0 ) , D ( 0 , 2 , 0 ) ,A1( 0 , 0 , 2 ) , B1( 2 , 0 , 2 ) , C1( 2 , 2 , 2 ) , D1(0 , 2 , 2 ) . 而由題意知: AB→= 2 e1, AD→= 2 e2, AA1→= 2 e3,( e1, e2, e3) 是單位正交基底. ∴ BD1→= BD→+ DD1→= AD→- AB→+ AA1→= 2 e2- 2 e1+ 2 e3=- 2 e1+ 2 e2+ 2 e3= ( - 2 , 2 , 2 ) . 同理可得: A1C→= ( 2 , 2 ,- 2) . 向量的坐標(biāo)即終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),一定要注意向量的起點(diǎn)是否在原點(diǎn).在原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)坐標(biāo)相同;不在原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)加上起點(diǎn)坐標(biāo)才是終點(diǎn)坐標(biāo). 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例 3 已知 a
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