空間向量的坐標(biāo)(編輯修改稿)
2024-12-15 12:28 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ( OA→＋ OB→＋ OC→) ＝13( a＋ b ＋ c ) ． 而 GH→＝ OH→－ OG→，又 ∵ OH→＝23OD→＝2312( OB→＋OC→) ＝13( b ＋ c ) ， ∴ GH→＝13( b ＋ c ) －13( a ＋ b ＋ c ) ＝－13a . 【名師點(diǎn)評(píng)】 ( 1 ) 由于 a 、 b 、 c 不共面，則 a 、b 、 c 可構(gòu)成空間的一個(gè)基，則空間任一向量均可用 a 、 b 、 c 表示． ( 2 ) 要注意三角形重心的性質(zhì)AGGD＝ 2. 空間向量的坐標(biāo)表示 求空間向 量的坐標(biāo)，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( x ， y ， z ) ，則向量 OP→的坐標(biāo)也是 ( x ， y ， z ) ． 例 2 已知在正四棱錐 PABCD中， O為底面中心，底面邊長(zhǎng)和高都是 2， E， F分別是側(cè)棱 PA， PB的中點(diǎn)，如圖所示，以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)DA， DC， OP的指向?yàn)?x軸， y軸， z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．分別寫(xiě)出點(diǎn) A， B， C， D，E， F的坐標(biāo)． 【思路點(diǎn)撥】 通過(guò)特殊點(diǎn) (中點(diǎn)、軸上的點(diǎn) )來(lái)求其他點(diǎn)的坐標(biāo)． 【解】 設(shè) i， j， k 分別是 x 軸， y 軸， z 軸正方向上的單位向量． 因?yàn)辄c(diǎn) B 在坐標(biāo)平面 x Oy 內(nèi)，且底面正方形的中心為 O ，邊長(zhǎng)為 2 ，所以 O B→＝ i ＋ j，所以向量O B→的坐標(biāo)為 ( 1 , 1 , 0 ) ，即點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ( 1 , 1 , 0 ) ． 同理可得 A (1 ，－ 1 , 0 ) ， C ( － 1 , 1 , 0 ) ， D ( － 1 ，－1 , 0 ) ． 又點(diǎn) P 在 z 軸上，所以 O P→＝ 2 k ， 所以向量 O P→＝ ( 0 , 0 , 2 ) ，即點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( 0 , 0 , 2 ) ． 因?yàn)?F 為側(cè)棱 PB 的中點(diǎn)，所以 O F→＝12( O B→＋ O P→)＝12( i ＋ j ＋ 2 k ) ＝12i ＋12j ＋ k ，所以點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(12，12， 1) ．同理點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 (12，－12， 1) ． 故所求各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (1 ，－ 1 , 0 ) ， B ( 1 , 1 , 0 ) ，C ( － 1 , 1 , 0 ) ， D ( － 1 ，－ 1 , 0 ) ， P ( 0 , 0 , 2 ) ， E (12，－12，1) ， F (12，12， 1) ． 自我挑戰(zhàn) 如圖，已知正方體 ABCD A 1 B 1 C
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