空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示、空間向量基本定理課件北師大版選修-文庫吧資料
2025-06-18 19:01本頁面
【正文】 解中三元有序?qū)崝?shù) 叫做空間向量 a的坐標(biāo)， a＝ 叫作向量 a的坐標(biāo)表示． (4)向量坐標(biāo)與投影： ① i， j， k為標(biāo)準(zhǔn)正交基， a＝ xi＋ yj＋ zk，那么： aj＝ ， ab0＝ 為向量 a在向量 b上的投影 . (x， y， z) 坐標(biāo)軸正方向 x y z (x， y， z) |a|cos〈 a， b〉 空間中任給三個(gè)向量 a， b， c. 問題 1： 什么情況下，向量 a， b， c可以作為一個(gè)基底？ 提示： 它們不共面時(shí)． 問題 2： 若 a， b， c是基底，則空間任一向量 v都可以由 a，b， c表示嗎？ 提示： 可以． 如果向量 e e e3是空間三個(gè) 的向量， a是空間任一向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù) λ λ λ3使得 a＝ . 其中 e e e3叫作這個(gè)空間的一個(gè) ． 表示向量 a關(guān)于基底 e1， e2， e3的分解． 不共面 基底 λ1e1＋ λ2e2＋ λ3e3 a＝ λ1e1＋ λ2e2＋ λ3e3 空間向量基本定理表明，用空間三個(gè)不共面的已知向量 a， b， c可以表示出空間任一向量；空間中的基底是不唯一的，空間任意三個(gè)不共面的向量均可作為空間向量的基底． [ 例 1] 如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有長方體 A B C D － A ′ B ′ C ′ D ′ ， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ，AA ′ ＝ 6. (1) 寫出 C ′ 的坐標(biāo)，給出 AC ? 關(guān)于 i ， j ， k的分解式； (2) 求 BD ? 的坐標(biāo)． [ 思路點(diǎn)撥 ] (1) C ′ 的坐標(biāo) ( 也是 AC ? 的坐標(biāo) ) ，即為 C ′ 在 x軸、 y 軸、 z 軸正方向上的投影，即 | OD |， | OB || OA ′ |. (2) 寫出 BD ? 關(guān)于 i ， j ， k 的分解式，即可求得 BD ? 的坐標(biāo)． [ 精解詳析 ] ( 1) ∵ AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， AA ′ ＝ 6 ， ∴ C ′ 的坐標(biāo)為 ( 4,3,6) ． ∴ AC ? ＝ ( 4,3,6) ＝ 4i ＋ 3 j ＋ 6 k . ( 2) BD ? ＝ AD ? － AB . ∵ AD ? ＝ AD ＋ AA ? ＝ 4 i ＋ 6 k ， ∴ BD ? ＝ AD ? －＝－ AB ＋ AD ＋ AA ? ＝ 4i － 3 j ＋ 6 k ， ∴ BD ? ＝ (4 ，－ 3,6) ． [一點(diǎn)通 ] (1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系是準(zhǔn)確表達(dá)空間向量坐標(biāo)的前提，應(yīng)充分利用已知圖形的特點(diǎn)，尋找三條兩兩垂直的直線，并分別為 x， y， z軸進(jìn)行建系． (2)若表示向量 的坐標(biāo)，只要寫出向量 關(guān)于 i，j， k的標(biāo)準(zhǔn)正 交分解式，即可得坐標(biāo)． AB AB1.
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