傅立葉變換的由來-文庫吧資料
2025-07-03 12:47本頁面
【正文】 還想說明以下幾點(diǎn)： 圖像經(jīng)過二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明： 若變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近(圖中陰影區(qū))。對頻譜移頻到原點(diǎn)以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心，對稱分布的。一般來講，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。為什么要提梯度？因?yàn)閷?shí)際上對圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f(x,y)來表示。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。傅立葉變換在實(shí)際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的譜。五、圖像傅立葉變換的物理意義圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。在線性時不變雜的卷積運(yùn)算為簡單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡單手段；離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲??；著名的卷積定理指出：傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出，其算法稱為快速傅立葉變換算法（FFT）。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個信號。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計(jì)算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。還有，這里我們所要說的變換(transform)雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的，對于離散數(shù)字信號處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計(jì)算機(jī)來說是不可能實(shí)現(xiàn)的。還有，也可以把信號用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號就變成了周期性離散信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法進(jìn)行變換。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘査痪哂械男再|(zhì)：正弦曲線保真度。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對的。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來。當(dāng)時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 17361813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 17491827)，
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