傅立葉變換的由來(文件)
【正文】 斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。在數(shù)學領(lǐng)域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。五、圖像傅立葉變換的物理意義圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。為什么要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。七、用Matlab實現(xiàn)快速傅立葉變換FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結(jié)果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。采樣得到的數(shù)字信號，就可以做FFT變換了。那么FFT之后結(jié)果就是一個為N點的復數(shù)。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點數(shù)為1024點，則可以分辨到1Hz。 假設(shè)FFT之后某點n用復數(shù)a+bi表示，那么這個復數(shù)的模就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。 下面以一個實際的信號來做說明。按照我們上面的分析，F(xiàn)n=(n1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n1。我們分別將這三個點附近的數(shù)據(jù)拿上來細看： 1點： 512+0i 2點： 3點： 50點： 51點： 192i 52點： 75點： 76點： + 192i 77點： + 很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的信號幅度為0。 然后再來計算相位信息?？梢?，相位也是對的。atan2(b,a)是求坐標為(a,b)點的角度值，范圍從pi到pi。具體的頻率細分法可參考相關(guān)文獻。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點數(shù)，這在一些實際的應(yīng)用中是不現(xiàn)實的，需要在較短的時間內(nèi)完成分析。 總結(jié)：假設(shè)采樣頻率為Fs，采樣點數(shù)為N，做FFT之后，某一點n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n1)*Fs/N；該點的模值除以N/2就是對應(yīng)該頻率下的信號的幅度（對于直流信號是除以N）；該點的相位即是對應(yīng)該頻率下的信號的相位。先計算50Hz信號的相位，atan2(192, )=,結(jié)果是弧度，換算為角度就是180*()/pi=。分別計算這三個點的模值，結(jié)果如下： 1點： 512 51點：384 76點：192 按照公式，可以計算出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=。實際情況如何呢？我們來看看FFT的結(jié)果的模
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