傅立葉變換的由來(更新版)
【正文】 實際情況如何呢？我們來看看FFT的結(jié)果的模值如圖所示。對于n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最后一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這里是假設(shè)的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數(shù)次方。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外我還想說明以下幾點： 圖像經(jīng)過二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明： 若變換矩陣Fn原點設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近(圖中陰影區(qū))。傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實空間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習(xí)慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由z=f(x,y)來表示。在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取；著名的卷積定理指出：傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出，其算法稱為快速傅立葉變換算法（FFT）。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個信號。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。當(dāng)時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 17361813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 17491827)，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間里，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。 誰是對的呢？拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性離散信號，我們就可以用到離散時域傅立葉變換的方法。四、傅立葉變換的物理意義傅立葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很重要的算法。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。同時也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。 現(xiàn)在就根據(jù)實際經(jīng)驗來說說FFT結(jié)果的具體物理意義。每一個點就對應(yīng)著一個頻率點。1024Hz的采樣率采樣1024點，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號并做FFT，則結(jié)果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時間的信號并做FFT。假設(shè)我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為30度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為75Hz、相位為90度、。接著，我們來計算各點的幅度值。根據(jù)FFT結(jié)果以及上面的分析計算，我們就可以寫出信號的表達式了，它就是我們開始提供的信號。
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