傅立葉變換的由來(lái)(更新版)
【正文】 實(shí)際情況如何呢？我們來(lái)看看FFT的結(jié)果的模值如圖所示。對(duì)于n=1點(diǎn)的信號(hào)，是直流分量，幅度即為A1/N。第一個(gè)點(diǎn)表示直流分量（即0Hz），而最后一個(gè)點(diǎn)N的再下一個(gè)點(diǎn)（實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)是不存在的，這里是假設(shè)的第N+1個(gè)點(diǎn)，也可以看做是將第一個(gè)點(diǎn)分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N1個(gè)點(diǎn)平均分成N等份，每個(gè)點(diǎn)的頻率依次增加。為了方便進(jìn)行FFT運(yùn)算，通常N取2的整數(shù)次方。這就是很多信號(hào)分析采用FFT變換的原因。另外我還想說(shuō)明以下幾點(diǎn)： 圖像經(jīng)過(guò)二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明： 若變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近(圖中陰影區(qū))。傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對(duì)在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f(x,y)來(lái)表示。在線性時(shí)不變雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取；著名的卷積定理指出：傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出，其算法稱(chēng)為快速傅立葉變換算法（FFT）。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。這里要理解的是我們使用周期性的信號(hào)目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題，至于考慮周期性信號(hào)是從哪里得到或怎樣得到是無(wú)意義的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來(lái)表示。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 17361813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 17491827)，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過(guò)并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，在近50年的時(shí)間里，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。 誰(shuí)是對(duì)的呢？拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。面對(duì)這種困難，方法是把長(zhǎng)度有限的信號(hào)表示成長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)，可以把信號(hào)無(wú)限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用零來(lái)表示，這樣，這個(gè)信號(hào)就可以被看成是非周期性離散信號(hào)，我們就可以用到離散時(shí)域傅立葉變換的方法。四、傅立葉變換的物理意義傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。同時(shí)也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。 現(xiàn)在就根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)說(shuō)說(shuō)FFT結(jié)果的具體物理意義。每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn)。1024Hz的采樣率采樣1024點(diǎn)，剛好是1秒，也就是說(shuō)，采樣1秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，則結(jié)果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT。假設(shè)我們有一個(gè)信號(hào)，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為30度、幅度為3V的交流信號(hào)，以及一個(gè)頻率為75Hz、相位為90度、。接著，我們來(lái)計(jì)算各點(diǎn)的幅度值。根據(jù)FFT結(jié)果以及上面的分析計(jì)算，我們就可以寫(xiě)出信號(hào)的表達(dá)式了，它就是我們開(kāi)始提供的信號(hào)。
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