傅立葉變換的由來(已修改)
2025-07-09 12:47 本頁面
【正文】 一、傅立葉變換的由來 關(guān)于傅立葉變換，無論是書本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解，最近，我偶爾從網(wǎng)上看到一個(gè)關(guān)于數(shù)字信號處理的電子書籍，是一個(gè)叫Steven W. Smith, ，寫得非常淺顯，里面有七章由淺入深地專門講述關(guān)于離散信號的傅立葉變換，雖然是英文文檔，我還是硬著頭皮看完了有關(guān)傅立葉變換的有關(guān)內(nèi)容，看了有茅塞頓開的感覺，在此把我從中得到的理解拿出來跟大家分享，希望很多被傅立葉變換迷惑的朋友能夠得到一點(diǎn)啟發(fā)，這電子書籍是免費(fèi)的，有興趣的朋友也可以從網(wǎng)上下載下來看一下，URL地址是：要理解傅立葉變換，確實(shí)需要一定的耐心，別一下子想著傅立葉變換是怎么變換的，當(dāng)然，也需要一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，最基本的是級數(shù)變換，其中傅立葉級數(shù)變換是傅立葉變換的基礎(chǔ)公式。二、傅立葉變換的提出 讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？傅立葉是一位法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier (17681830)，F(xiàn)ourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學(xué)學(xué)會上發(fā)表了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭議性的決斷：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 17361813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 17491827)，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日堅(jiān)決反對，在近50年的時(shí)間里，拉格朗日堅(jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國科學(xué)學(xué)會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作，幸運(yùn)的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運(yùn)動，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來。 誰是對的呢？拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個(gè)帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對的。 為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘査痪哂械男再|(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。三、傅立葉變換分類 根據(jù)原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別： 非周期性連續(xù)信號：傅立葉變換（Fourier Transform） 周期性連續(xù)信號：傅立葉級數(shù)(Fourier Series) 非周期性離散信號：離散時(shí)域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform） 周期性離散信號：離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)下圖是四種原信號圖例：這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負(fù)無窮大的信號，即信號的長度是無窮大的，我們知道這對于計(jì)算機(jī)處理來說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無窮小到正無窮
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