信號(hào)與線性系統(tǒng)管致中第4章連續(xù)時(shí)間傅立葉變換(已修改)
2025-03-03 15:56 本頁(yè)面
【正文】 第 4章 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換The Continuous time Fourier Transform本 章的主要內(nèi)容 :1. 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換 。2. 傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉變換之間的關(guān)系 。3. 傅立葉變換的性質(zhì) 。4. 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域分析； 在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號(hào)是非周期信號(hào)，對(duì)非周期信號(hào)應(yīng)該如何進(jìn)行分解，什么是非周期信號(hào)的頻譜表示，線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的響應(yīng)如何求得，就是這一章要解決的問(wèn)題。 引言 Introduction 在時(shí)域可以看到，如果一個(gè)周期信號(hào)的周期趨于無(wú)窮大，則周期信號(hào)將演變成一個(gè)非周期信號(hào)；反過(guò)來(lái)，如果將任何非周期信號(hào)進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個(gè)周期信號(hào)。 我們把非周期信號(hào)看成是周期信號(hào)在周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限，從而考查連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)在 T趨于無(wú)窮大時(shí)的變化，就應(yīng)該能夠得到對(duì)非周期信號(hào)的頻域表示方法。 非周期信號(hào)的表示 — 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換Representation of Aperiodic Signals: The ContinuousTime Fourier Transform一 .從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換 我們已經(jīng)看到，周期性矩形脈沖，當(dāng)周期 增大時(shí)，頻譜的幅度隨 的增大而下降；譜線間隔隨 的增大而減小；但頻譜的包絡(luò)不變。再次考察周期性矩形脈沖的頻譜圖： 當(dāng) 時(shí)，周期性矩形脈沖信號(hào)將演變成為非周期的單個(gè)矩形脈沖信號(hào)。 （ a）（ b）(a) (b) 00 由于 也隨 增大而減小，并最終趨于 0，考查 的變化，它在 時(shí)應(yīng)該是有限的。 于是，我們推斷出 :當(dāng) 時(shí)，離散的頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)的頻譜。由當(dāng) 時(shí) ,如果令 則有與周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)比有： 這表明 :周期信號(hào)的頻譜就是與它相對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)頻譜的樣本。根據(jù)傅立葉級(jí)數(shù)表示： 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換當(dāng) 時(shí)，于是有：傅立葉反變換 此式表明，非周期信號(hào)可以分解成無(wú)數(shù)多個(gè)頻率連續(xù)分布、振幅為 的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和。 由于 具有頻譜隨頻率分布的物理含義，因而稱 為 頻譜密度函數(shù) 。于是，我們得到了對(duì)非周期信號(hào)的頻域描述方法這一對(duì)關(guān)系被稱為連續(xù)時(shí)間傅立葉變換對(duì)。 可見(jiàn)，周期信號(hào)的頻譜是對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào) 頻譜的樣本 ；而非周期信號(hào)的頻譜是對(duì)應(yīng)的周期信號(hào) 頻譜的包絡(luò)。 既然傅立葉變換的引出是從周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示出發(fā)，討論周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限得來(lái)的，傅立葉變換的收斂問(wèn)題就應(yīng)該和傅立葉級(jí)數(shù)的收斂相一致。二 . 傅立葉變換的收斂這表明能量有限的信號(hào)其傅立葉變換一定存在。2. Dirichlet 條件a. 絕對(duì)可積條件1. 若 則 存在。也有相應(yīng)的兩組條件：b. 在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個(gè)極值點(diǎn)， 且極值有限。c. 在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。 應(yīng)該指出 :這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件 。 和周期信號(hào)的情況一樣，當(dāng) 的傅立葉變換存在時(shí)，其傅立葉變換在 的連續(xù)處收斂于信號(hào)本身，在間斷點(diǎn)處收斂于左右極限的平均值，在間斷點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生 Gibbs 現(xiàn)象。 這兩組條件并不等價(jià)。例如： 是平方可積
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