現(xiàn)代信號處理第6章連續(xù)小波變換(已修改)
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【正文】 2022/5/27 機械工程及自動化研究所 現(xiàn)代信號處理技術及應用 第六章 連續(xù)小波變換及其工程應用 西安交通大學機械工程學院研究生學位課程 第六章 連續(xù)小波變換及其工程應用 諧波小波變換及其工程應用 Laplace小波特征波形相關濾波 Hermitian連續(xù)小波變換與信號奇異性識別 引言 小波分析中被廣泛使用的 Daubechies類小波與樣條小波都是實小波，它們沒有明確的解析表達式，對信號的小波分解是通過構造相應的正交濾波器系數(shù) {hk}和 {gk}運用 Mallat快速算法實現(xiàn)的。 除了這兩類小波，其它類型的小波基函數(shù)也被陸續(xù)構造出來并且得到了深入研究和工程運用。 本章介紹三種在工程實際應用中取得了理想效果的連續(xù)小波基函數(shù)，它們都具有明確的解析表達式。這三種連續(xù)小波分別是諧波小波、 Laplace小波和Hermitian小波。 諧波小波變換及其工程應用 Newland快速算法 諧波小波時頻圖 諧波小波濾波 諧波小波應用 ? 小波分形技術原理與離散信號盒維數(shù)的計算 ? 諧波小波軸心軌跡陣列的實現(xiàn)及其不規(guī)則度描述 諧波小波 (harmonic wavelet)是由劍橋大學 D. E. Newland教授在 1993年提出的。 諧波小波是一種復小波，在頻域緊支，有明確的函數(shù)表達式，其伸縮與平移構成了 L2(R)空間的規(guī)范正交基。 諧波小波小波具有完全 “ 盒形 ” 的頻譜。 諧波小波分解算法是通過信號的快速傅里葉變換（ FFT）及其逆變換（ IFFT）實現(xiàn)的，算法速度快，精度高，因而具有很好的工程應用價值。 實偶函數(shù) we(t)和實奇函數(shù) wo(t) , 它們的傅里葉變換分別為 W(?)所對應的函數(shù) w (t) = we (t) + iwo (t)由 W(?)的傅里葉逆變換得 w (t)函數(shù)為諧波小波，它是復小波，在頻域緊支，且具有完全“ 盒形 ” 的頻譜。 根據(jù)小波理論對諧波小波進行伸縮、平移就生成諧波小波函數(shù)族（ j, k?Z）： 設 w (t)伸縮平移得到函數(shù)族為 v(t)，即 其頻譜為 隨著小波層（即 j）的變大，諧波小波的頻譜寬度倍增而幅值降低 分析頻寬從高頻到低頻是以 1/2關系逐漸減小的，對信號的低頻部分劃分比較細，而高頻部分劃分比較粗，這說明諧波小波分解是一種小波分解 當 j? 0， W(?)與 V(?)在頻域中總處于不同的頻段，因而總有 說明處于不同層的諧波小波總是正交的 對于處于同層的諧波小波 w(t)， w(t – k) , 其中 (k ? 0, k ? Z)， 說明處于第零層的諧波小波也是正交的。對其它層，以上結論可以類似得到 。 因此， w(t)及其伸縮平移函數(shù)族構成信號的正交基。以諧波小波作為基函數(shù)系就可以將信號既不交迭，又無遺漏地分解到相互獨立的空間，實現(xiàn)將信號成分分解到不同頻段 。 Newland快速算法 諧波小波構成了 L2 ( R ) 空間的規(guī)范正交基，則任何信號 x ( t ) ? L2 ( R ) 都可以表示為諧波小波的線性和，即 aj,k為函數(shù) x(t)的小波展開系數(shù) 用求內積的方法計算小波展開系數(shù)運算量太大，是很不實用的。因此諧波小波的提出者 Newland給出了一種快速算法，可以快速而精確地求得諧波小波分解，對諧波小波運用于工程實踐有很大好處。 Newland快速算法 Newland快速算法是通過信號的快速傅里葉變換 FFT和快速傅里葉逆變換 IFFT實現(xiàn)。設有離散信號 x (r)， r = 0,…, N – 1,其中 N = 2n，其諧波小波分解為 as , s= 0,…, N – 1。令 as由 Fs經分段、對每一段作 IFFT得到，下兩式為其表達式： Newland快速算法 下圖表示一數(shù)據(jù)長度為 16的實序列的諧波小波分解示意圖 諧波小波時頻圖 諧波小波分解結果一般用小波時頻圖（ Wavelet TimeFrequency Map）直觀表示。 在各網格以 as模的平方為高作柱體就構成了諧波小波時頻圖。小波時頻圖是隨|as|2起伏的面。這里高度取lg|as|2。 由 Parseval公式得到 ， 諧波小波分解結果表明不同頻率和時間的諧波小波能量對整個信號能量貢獻的大小 諧波小波時頻圖 下圖為信號
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