現(xiàn)代信號(hào)處理第6章連續(xù)小波變換(已修改)
2025-05-12 01:35 本頁(yè)面
【正文】 2022/5/27 機(jī)械工程及自動(dòng)化研究所 現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)及應(yīng)用 第六章 連續(xù)小波變換及其工程應(yīng)用 西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院研究生學(xué)位課程 第六章 連續(xù)小波變換及其工程應(yīng)用 諧波小波變換及其工程應(yīng)用 Laplace小波特征波形相關(guān)濾波 Hermitian連續(xù)小波變換與信號(hào)奇異性識(shí)別 引言 小波分析中被廣泛使用的 Daubechies類小波與樣條小波都是實(shí)小波，它們沒有明確的解析表達(dá)式，對(duì)信號(hào)的小波分解是通過構(gòu)造相應(yīng)的正交濾波器系數(shù) {hk}和 {gk}運(yùn)用 Mallat快速算法實(shí)現(xiàn)的。 除了這兩類小波，其它類型的小波基函數(shù)也被陸續(xù)構(gòu)造出來并且得到了深入研究和工程運(yùn)用。 本章介紹三種在工程實(shí)際應(yīng)用中取得了理想效果的連續(xù)小波基函數(shù)，它們都具有明確的解析表達(dá)式。這三種連續(xù)小波分別是諧波小波、 Laplace小波和Hermitian小波。 諧波小波變換及其工程應(yīng)用 Newland快速算法 諧波小波時(shí)頻圖 諧波小波濾波 諧波小波應(yīng)用 ? 小波分形技術(shù)原理與離散信號(hào)盒維數(shù)的計(jì)算 ? 諧波小波軸心軌跡陣列的實(shí)現(xiàn)及其不規(guī)則度描述 諧波小波 (harmonic wavelet)是由劍橋大學(xué) D. E. Newland教授在 1993年提出的。 諧波小波是一種復(fù)小波，在頻域緊支，有明確的函數(shù)表達(dá)式，其伸縮與平移構(gòu)成了 L2(R)空間的規(guī)范正交基。 諧波小波小波具有完全 “ 盒形 ” 的頻譜。 諧波小波分解算法是通過信號(hào)的快速傅里葉變換（ FFT）及其逆變換（ IFFT）實(shí)現(xiàn)的，算法速度快，精度高，因而具有很好的工程應(yīng)用價(jià)值。 實(shí)偶函數(shù) we(t)和實(shí)奇函數(shù) wo(t) , 它們的傅里葉變換分別為 W(?)所對(duì)應(yīng)的函數(shù) w (t) = we (t) + iwo (t)由 W(?)的傅里葉逆變換得 w (t)函數(shù)為諧波小波，它是復(fù)小波，在頻域緊支，且具有完全“ 盒形 ” 的頻譜。 根據(jù)小波理論對(duì)諧波小波進(jìn)行伸縮、平移就生成諧波小波函數(shù)族（ j, k?Z）： 設(shè) w (t)伸縮平移得到函數(shù)族為 v(t)，即 其頻譜為 隨著小波層（即 j）的變大，諧波小波的頻譜寬度倍增而幅值降低 分析頻寬從高頻到低頻是以 1/2關(guān)系逐漸減小的，對(duì)信號(hào)的低頻部分劃分比較細(xì)，而高頻部分劃分比較粗，這說明諧波小波分解是一種小波分解 當(dāng) j? 0， W(?)與 V(?)在頻域中總處于不同的頻段，因而總有 說明處于不同層的諧波小波總是正交的 對(duì)于處于同層的諧波小波 w(t)， w(t – k) , 其中 (k ? 0, k ? Z)， 說明處于第零層的諧波小波也是正交的。對(duì)其它層，以上結(jié)論可以類似得到 。 因此， w(t)及其伸縮平移函數(shù)族構(gòu)成信號(hào)的正交基。以諧波小波作為基函數(shù)系就可以將信號(hào)既不交迭，又無遺漏地分解到相互獨(dú)立的空間，實(shí)現(xiàn)將信號(hào)成分分解到不同頻段 。 Newland快速算法 諧波小波構(gòu)成了 L2 ( R ) 空間的規(guī)范正交基，則任何信號(hào) x ( t ) ? L2 ( R ) 都可以表示為諧波小波的線性和，即 aj,k為函數(shù) x(t)的小波展開系數(shù) 用求內(nèi)積的方法計(jì)算小波展開系數(shù)運(yùn)算量太大，是很不實(shí)用的。因此諧波小波的提出者 Newland給出了一種快速算法，可以快速而精確地求得諧波小波分解，對(duì)諧波小波運(yùn)用于工程實(shí)踐有很大好處。 Newland快速算法 Newland快速算法是通過信號(hào)的快速傅里葉變換 FFT和快速傅里葉逆變換 IFFT實(shí)現(xiàn)。設(shè)有離散信號(hào) x (r)， r = 0,…, N – 1,其中 N = 2n，其諧波小波分解為 as , s= 0,…, N – 1。令 as由 Fs經(jīng)分段、對(duì)每一段作 IFFT得到，下兩式為其表達(dá)式： Newland快速算法 下圖表示一數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為 16的實(shí)序列的諧波小波分解示意圖 諧波小波時(shí)頻圖 諧波小波分解結(jié)果一般用小波時(shí)頻圖（ Wavelet TimeFrequency Map）直觀表示。 在各網(wǎng)格以 as模的平方為高作柱體就構(gòu)成了諧波小波時(shí)頻圖。小波時(shí)頻圖是隨|as|2起伏的面。這里高度取lg|as|2。 由 Parseval公式得到 ， 諧波小波分解結(jié)果表明不同頻率和時(shí)間的諧波小波能量對(duì)整個(gè)信號(hào)能量貢獻(xiàn)的大小 諧波小波時(shí)頻圖 下圖為信號(hào)
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