【正文】 動(dòng)中，在單位時(shí)間內(nèi)物體完成全振動(dòng)的次數(shù)叫頻率，用f表示。周期為T 的信號(hào)中有大量正弦波，其頻率分別為1/T Hz、2/T Hz、…、 n/THz，稱頻率為 1/THz的正弦波為“基波”，頻率為等 n/THz（n≠1）的正弦波為n次“諧波”。相應(yīng)于這個(gè)最長(zhǎng)周期的頻率稱為基本頻率。在復(fù)雜的周期性振蕩中,包含基波和諧波。所以：頻域各諧波頻率一定是時(shí)域信號(hào)時(shí)鐘頻率的倍數(shù)。二次諧波分量W2：周期是基波分量周期的1/3，頻率是基波頻率的3倍。W0在傅立葉級(jí)級(jí)數(shù)中用常數(shù)a0表示。）（角頻率與頻率之間就是多了個(gè)2pi的關(guān)系，那么 基波頻率就是時(shí)域信號(hào)的頻率從頻譜圖也能看出，相鄰各諧波頻率之間間隔為按 傅立葉公式1中定義，可知每個(gè)頻率點(diǎn)間的間隔是2Pi/T,那么第0個(gè)頻率點(diǎn)即基波，它的頻率=2Pi/T。周期性函數(shù)按上面傅立葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)方法來得到頻譜（以頻率Wn為x軸、幅值Cn為y軸）功率譜就是功率與頻率之間的關(guān)系曲線。幅度譜就是復(fù)頻譜取幅度后得到的幅度與頻率之間的關(guān)系曲線；頻譜就是時(shí)域信號(hào)經(jīng)過傅立葉變換后的復(fù)信號(hào)；因?yàn)镃n是復(fù)數(shù)。頻譜、幅度譜、相位譜、功率譜解釋：上面三點(diǎn)其實(shí)與 上升時(shí)間越小，對(duì)應(yīng)帶寬越大 的關(guān)系是一致的。（即很窄的脈沖），則大部分信號(hào)能量將落在下式的范圍內(nèi):如因此，在 脈沖寬度或持續(xù)時(shí)間 與脈沖的頻率展布 之間，有反比關(guān)系存在。處的第一個(gè)零交點(diǎn)在頻率軸上移遠(yuǎn)。同時(shí)在減少，表示W(wǎng)n會(huì)變大。的減少，信號(hào)的頻率分量分布的更寬思考：因?yàn)楫?dāng)函數(shù)變化增快（T減?。r(shí)，在較高頻率范圍內(nèi)所包含的能量所占的比重將增大。時(shí)間函數(shù)比較快速的變化則相當(dāng)于比較高的頻率分量：周期T減少，則頻譜變大（因?yàn)?△f=2pi/T雖然周期函數(shù)包括有基本頻率的所有整數(shù)倍的頻率分量，但在較高頻率上，振幅的包絡(luò)減小。因?yàn)閚是離散的，所以Wn也取離散值（W1=2pi/T的各諧波），所以 歸一化參數(shù)x也是離散點(diǎn)，但Cn的包絡(luò)無疑與上圖一致。函數(shù) sinx/x 在x=0處有最大值，此處sinxx, (sinx/x)1，而當(dāng)x無窮大時(shí)，它0則它的頻譜可以表示成所以：較快速的變化相當(dāng)于較高頻率的變動(dòng)。當(dāng)原信息信號(hào)變化更快時(shí)（Wm增大），使得振幅調(diào)制后的信號(hào)也變化更快，邊帶頻率(W0Wm,W0+Wm)也更遠(yuǎn)的離開載波。上式經(jīng)簡(jiǎn)單的三角運(yùn)算后，得到，2A是最大振幅時(shí)域信號(hào)波形中，振幅的變化構(gòu)成整個(gè)信號(hào)的包絡(luò)。時(shí)間頻率 間的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系1：時(shí)間變化速率(即時(shí)域信號(hào)的變化速率) 與 頻譜 呈正比關(guān)系在調(diào)制技術(shù)中，信號(hào)f(t)要調(diào)制到載波上產(chǎn)生的頻率移動(dòng)，即通過上述關(guān)系確立。如果F(w)的角頻率移動(dòng)了W0弧度/秒，則f(t)要乘上即2，頻譜搬移原理傅立葉變換推導(dǎo)出：時(shí)移原理與頻移原理，對(duì)偶性質(zhì)任意電壓f(t)加到1歐電阻上的瞬時(shí)功率就是｜f(t)｜2所以振幅頻譜的平方就是不同頻率上（n=0,1,2...)1歐電阻內(nèi)所損耗功率的測(cè)量。瓦。從電路分析可知，如功率譜一個(gè)基波在一個(gè)周期內(nèi)的符號(hào)，一次諧波在2個(gè)周期內(nèi)的符號(hào)，二次諧波在3個(gè)周期內(nèi)的符號(hào)，三次諧波在4個(gè)周期內(nèi)的符號(hào)。時(shí)域信號(hào)的一個(gè)周期中的 符號(hào) 包括了以下信號(hào)的疊加（且可通過正交分解出來）：相位則是各諧波疊加后形成（相位在時(shí)域與頻域 沒有固定的、可按公式計(jì)算出的關(guān)系）。時(shí)域信號(hào)的周期=各諧波信號(hào)中的最大周期，即基波的周期。2，時(shí)域信號(hào)中看不出頻率，只有各諧波疊加后的信號(hào)。所以：1，頻域中完全看不出時(shí)間，只有諧波的各 頻率、幅值、相位 。解釋：時(shí)域中的相位，與頻域中的相位完全不同。即相位就是可以推導(dǎo)出：振幅譜是頻率的偶對(duì)稱函數(shù)。,它隨頻率變化。F(w)是頻率的復(fù)函數(shù)。由F(w)公式得出時(shí)域信號(hào)f(t)的頻率分量。F(w)稱為 f(t)的傅立葉變換。則我們得到則Cn作為諧波Wk的幅值也會(huì)變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)F(w)當(dāng)T無窮大時(shí)，而Wn也0，所以所以這個(gè)f(t)可以寫為，將△W代入原f(t)公式而得。考慮一個(gè)周期函數(shù)f(t)，用傅立葉級(jí)數(shù)表示。因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)總可以在時(shí)間間隔之外按其本身形狀來重復(fù)，這里可使用傅立葉級(jí)數(shù)來計(jì)算頻譜。所以在 傅立葉公式5 中就消除了“負(fù)頻率”這里給出了五種 傅立葉級(jí)數(shù)f(t)的表示方式，它們都是等價(jià)的，并可互相推導(dǎo)出來。從上面的 復(fù)指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)公式 中，可以直接得到各子頻率分量對(duì)應(yīng)正弦波（諧波）的振幅 和相位。三角函數(shù) 運(yùn)算法則是：實(shí)際上信號(hào)的傳輸都用實(shí)信號(hào)，而接收信號(hào)的處理中則使用復(fù)信號(hào)。Cn是復(fù)數(shù)，定義為從上面的f(t)推導(dǎo)出 復(fù)指數(shù)形式 的過程略，基本思想是利用了歐拉公式e^jx = cos(x) + jsin(x)復(fù)指數(shù)形式,它也是最簡(jiǎn)捷的表達(dá)方式。（分別對(duì)應(yīng) 幅度譜與相位譜）經(jīng)過簡(jiǎn)單的三角函數(shù)運(yùn)算，可以得到傅立葉級(jí)數(shù)f(t)的另一個(gè)表達(dá)方式：（傅立葉公式3）2,1,按上述的三角函數(shù)關(guān)系，要得到ak，就把f(t)乘以coswkt，并在整個(gè)周期內(nèi)取積分。這三項(xiàng)就是傅立葉變換的結(jié)果：頻域信號(hào)表示首先：我們考慮如何對(duì)于 時(shí)域信號(hào)f(t)pi可對(duì)應(yīng)時(shí)間周期T。即正交。時(shí)域的信號(hào)用f(t)表示，下面介紹這個(gè)信號(hào)如何轉(zhuǎn)換到頻域的表示方法。AkCosWkt+BkSinWkt即時(shí)域信號(hào)的第k個(gè)頻率分量對(duì)應(yīng)的正弦波（即諧波）表示。（傅立葉公式2）因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。和傅立葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅立葉變換算法。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。每種傅立葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對(duì)于實(shí)數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對(duì)復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識(shí)，不過，如果理解了實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(real DFT)，再去理解復(fù)數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉放到一邊去，先來理解實(shí)數(shù)傅立葉變換，在后面我們會(huì)先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實(shí)數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對(duì)于計(jì)算機(jī)來說只有離散的和有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)才能被處理，對(duì)于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里我們要學(xué)的是離散信號(hào)，對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào)，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來處理信號(hào)的。面對(duì)這種困難，方法是把長(zhǎng)度有限的信號(hào)表示成長(zhǎng)度無限的信號(hào)，可以把信號(hào)無限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個(gè)信號(hào)就可以被看成是非周期性離解信號(hào)，我們就可以用到離散時(shí)域傅立葉變換的方法。這四種傅立葉變換都是針對(duì)正無窮大和負(fù)無窮大的信號(hào)，即信號(hào)的的長(zhǎng)度是無窮大的，我們知道這對(duì)于計(jì)算機(jī)處理來說是不可能的，那么有沒有針對(duì)長(zhǎng)度有限的傅立葉變換呢？沒有。DFT下圖是四種原信號(hào)圖例：離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)周期性離散信號(hào)離散時(shí)域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform）非周期性離散信號(hào)傅立葉變換（Fourier Transform）非周期性連續(xù)信號(hào)注：此處仍要牢記：頻域是數(shù)學(xué)構(gòu)造，只要有助于我們分析信號(hào)，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方法 就是有用的。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可