傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關系與應用本科畢業(yè)論文-文庫吧資料
2025-07-02 16:18本頁面
【正文】 , n=1,2…這里（4）式是以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)，（3）式是的傅里葉級數(shù). 收斂性定理 傅里葉級數(shù)的收斂準則——狄利克雷（Dirichlet）定理若 （1）在上或者連續(xù)，或者只有有限個間斷點，在間斷處函數(shù)的左、右極限都存在； （2）在上只有有限個極大值點與極小值點； （3）在外是周期函數(shù)，其周期為2，則級數(shù) （1）證明===因為及所以 證畢例：試將鋸齒波在區(qū)間上展開為傅里葉級數(shù)。現(xiàn)在對級數(shù)（14）逐項求積，有 =由三角函數(shù)的正交性，右邊除了以為系數(shù)的那一項積分外，其他各項積分都等于零，于是得出即同理，（12）式兩邊乘以，并逐項求積，可得一般的說，若是以為周期且在上可積分的函數(shù)，則按公式（13）計算出的和叫做函數(shù)的傅里葉級數(shù)，記作 這里的“~”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級數(shù)。從后面的推導我們也看到，三角函數(shù)系(6)的正交性在三角級數(shù)研究中扮演了重要的角色。我們通過簡單的計算可知，三角函數(shù)系 (6)具有以下性質 (7) (8) (9) (10)即三角函數(shù)系（6）中任何兩個不同函數(shù)的乘積在上積分為0，我們稱這一性質為三角函數(shù)系(1)的正交性。于是，我們自然提出以下問題：什么條件下我們可以將一個周期為的函數(shù)表示成如(1)式那樣簡單，標準的簡諧振動的疊加?即什么條件下(3)式成立?更一般地，什么條件下可以將一個周期為T的函數(shù)表示成簡諧振動的疊加？設g(t)周期為T，則只要令,就有則周期為，所以我們只要討論前一個問題就行了。傅里葉級數(shù)是一類特殊的函數(shù)項級數(shù)，對周期性現(xiàn)象進行數(shù)學上的分析，其在理論和應用上都有重要價值。通常這個周期命名為函數(shù)系的周期。如下形式的函數(shù)系： 1， ，…，… （）稱為基本三角函數(shù)系。周期定義：（1） 滿足式（）的T值中的最小正數(shù)，即為該函數(shù)的周期；（2） 一個常數(shù)以任何正數(shù)為周期。傅里葉級數(shù)針對的是周期性函數(shù)，傅里葉變換針對的是非周期性函數(shù)，它們在本質上都是一種把信號表示成復正選信號的疊加，存在相似的特性。很多波形可以作為信號的成分，例如余弦波，方波，鋸齒波等等，傅里葉變換作為信號的成分。傅里葉原理表明：對于任何連續(xù)測量的數(shù)字信號，都可以用不同頻率的正弦波信號的無限疊加來表示。除此之外，傅里葉變換還是處理信號領域的一種很重要的算法。所謂積分變換，就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)乘上一個確定的二元函數(shù)，然后計算積分，即這樣變成了另一個函數(shù)類B中的函數(shù)，這里的二元函數(shù)是一個確定的二元函數(shù)，通常稱為該積分變換的核，稱為象原函數(shù)，稱為的象函數(shù)，當選取不同的積分域和核函數(shù)，就得到不同名稱的積分變換。 Periodic1緒論，從而極大的推動了偏微分方程理論的發(fā)展，在數(shù)學物理以及工程中都具有重要的應用。 關鍵詞：傅里葉級數(shù)；傅里葉變換；周期性 Fourier series And Fourier TransformsAbstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algor
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