【正文】 （315）則在通帶內(nèi) 值逼近 ，在阻帶內(nèi) 值逼近于 。此時誤差曲線上每個格點頻率處的誤差值都滿足 ，r+1 個極值頻率處()E???的 ，并且具有正負(fù)交替的符號，這標(biāo)志著加權(quán)切比雪夫等波紋逼近誤差max()E??已經(jīng)形成，最佳逼近找到了。如果在任一次迭代中 的極值點多于（r+1 ）個，就保留 值最大的（r+1 ）個頻率作為()E?()下一次迭代的假設(shè)極值點。作為這次迭代尋找新的 r+1 個誤差?最大點的比較標(biāo)準(zhǔn)，看在這些頻率上計算 值。這就是說根據(jù)問題的原始要求，對于給?定的一組極值頻率 ，需要求以下方程??k(0,1)r?? )(1)kkkWHP??????????0,1kr?0(cos)rknan????式中 0rkikix???? （3cosii10）計算出以后，確定出 r 個極值頻率 上的 值? 01,r???()P?kC （3()()kkdkCHW???0,1kr??11）利用拉格朗日內(nèi)插公式得出 10()rkkrkkCxP???????????式中 （310cosrkikix??????12）18要注意 也可以內(nèi)插到()P? （313）求出 的內(nèi)插值以后，在根據(jù)公式()P? (314)在密集的頻率組上計算 值。第一次迭代的（r+1）個極值頻率是??k(0,1)r???按等間隔假設(shè)的，這些頻率位于區(qū)間 內(nèi)，并且由于 和 是0cs????和 c?s固定的，所以 中的某一頻率，即 。等波紋的誤差曲線是在多次迭代中形成的。④調(diào)用了子程序 EFF 和 WATE 計算各格點頻率上所要求的函數(shù)值 和加d()H?權(quán)函數(shù)值 .()W????????（ 濾 波 器 長 度 N+1）格 點 密 度 逼 近 函 數(shù) cos的 個 數(shù) r對 情 況 1為 217⑤根據(jù)四種情況統(tǒng)一的公式將 、 ，變成了 。① 讀輸入數(shù)據(jù)（濾波器的技術(shù)規(guī)格）② 根據(jù)濾波器的類型和長度確定了逼近函數(shù) cos 的個數(shù) r③ 用密集的格點代替了頻率區(qū)間 。第三步用雷米茲算法求逼近問題的解。第一步設(shè)計濾波器算法，表達所要求設(shè)計的濾波器的類型和必須滿足的性能要求。()()dP?和（3） 用雷米茲多次交換算法，求逼近問題的解。()dH?基于交替定理的最優(yōu) FIR 濾波器的設(shè)計程序的主要步驟：（1） 輸入部分：規(guī)定所需要的頻率響應(yīng)為 ，加權(quán)函數(shù) 和濾波器()dH?()W?的長度 N。前面已c?s將最優(yōu)線性相位 FIR 濾波器的設(shè)計問題描述為切比雪夫逼近問題，逼近函數(shù)是 r 個獨立的余弦函數(shù)之和。此外，目前還有線性規(guī)劃技術(shù)設(shè)計方法，下面對雷米茲算法及線性規(guī)劃技術(shù)設(shè)計法分別加以介紹。同時由于 N， 是固定的，所以12,?濾波器的頻帶邊緣 不能預(yù)先規(guī)定，需在最后的解求得以后，才能計算出來。到了 1973 年又找到了雷米茲算法求解加權(quán)誤差的方法。1970 年發(fā)表了非線性方程的方法求解切比雪夫逼近的最優(yōu)解。最優(yōu)線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計就是要設(shè)法求得切比雪夫逼近的最優(yōu)解的濾波器的系數(shù)。我們將一要求表示為加權(quán)逼近誤差函數(shù)的形式。這些濾波器有固定的群延遲或時間延遲，其定義如下： （39） 線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計方法最優(yōu)設(shè)計就是充分利用技術(shù)指標(biāo)來進行設(shè)計。()2M?????? （38）或 是這一情況的特例，此時的濾波器就變成前面討論的線性相位了。這種濾波器的相位響應(yīng)為 。下面給出了通用公式：（M 為奇數(shù)，系數(shù)奇對稱）FIR? （36）220()(()cos)MMj iHehi??????12[]0()()sin)MjiHehi???????15因為 M 是奇數(shù)，所以系數(shù) 的中心 應(yīng)該是本身的負(fù)數(shù)，所以必須等于()hn()2M0。令 ，此時就有七個系數(shù)，而且是對稱的。(0),(1)4,(2)3hh。系數(shù)偶對稱意味著 ，系數(shù)奇對稱意味著())n?。假設(shè)一個因果 FIR 濾波器 同（如下式中濾波器的長度為 ， 為12()0()()()MHzhzhhz??????? 1M?()hi濾波器系數(shù)。另一方面，線性相位 IIR 濾波器的設(shè)計就不那么簡單了，而且通常只能使它在一定的頻帶頻率范圍內(nèi)滿足線性相位性質(zhì)。 線性相位濾波器可以很容易設(shè)計出滿足線性相位特性的 FIR 濾波器，這使得 FIR 濾波器得到廣泛應(yīng)用。這樣的系統(tǒng)也常常稱為線性相位系統(tǒng)。 只改變水平軸附()G?()G?近的符號，即阻帶內(nèi)的符號，此時阻帶內(nèi)的信號極大地衰減。這樣一來()[()]jHeG???2??02T???0T13中括號里的函數(shù)就變成了線性相位，此時波紋不再失真，負(fù)號只要將波紋沿縱軸反轉(zhuǎn)即可。從上面給出的線性相位的定義的角度來說，該系統(tǒng)不是嚴(yán)格意義上的線性相位系統(tǒng)。相位 ，那么系統(tǒng)是一je?? ()0?()?????個線性想一系統(tǒng)。既然 是實數(shù)，所以它只會影響輸入信號的幅值大小，()G?()而 僅僅使輸入信號產(chǎn)生相移。假設(shè) ,那么它只是起到延遲的作用，其相()rad??? 2(z位響應(yīng)只畫出了 區(qū)間內(nèi)的相位，這也導(dǎo)致了原本是線性的相位出現(xiàn)了彎折。從另一方面來講，如果濾波器不具有線性相位，那么輸入信號的不同頻率成分延遲量是不同的，這將會導(dǎo)致輸出信號的失真，在實際設(shè)計中通常要回避這種情況。因此如果數(shù)字濾波器滿足線性相位條件，那么所有頻率分成的延遲量是一樣的。假設(shè)正弦曲線的頻率為 ，即周期為 ，其中 因為一個周期0b?0?0T對應(yīng)于 ，所以相位改變 對應(yīng)于延遲。式中 是一個常量。為了求解(2－5)式，ParksMcCLLan 把逼近理論中的交錯點定理應(yīng)用到濾波器設(shè)計中，從而得出了如下的交錯定理：11設(shè) 是個 r 余弦函數(shù)的線性組合，即：()P? （210()()cosrnPan????7）A 是 內(nèi)所研究的一個閉子集， 是 A 上的一個連續(xù)函數(shù)，則 在0??()H? ()P?A 內(nèi)能夠最佳并且唯一地逼近 的充要條件是：加權(quán)切比雪夫逼近誤差函數(shù)()?在 A 中至少 r+1 個極值點，即在 A 中存在 共 r+1 個頻率點，()E?21rL???各頻率點均滿足關(guān)系式： （28）??1()()(),2maxiiAEEir????????123 線性相位 FIR 數(shù)字濾波器 線性相位的概念數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)可以由幅值 表示。那么線性相位 FIR DF 的加權(quán)切比雪夫等波紋逼近問題實際上就是求解 表達式的問題，從而使得在實行()逼近的頻率范圍內(nèi) 的最大絕對值達到最小。利用三角恒等式??0,1dk?知識和交錯定理可得： (23)()()QP在 FIR 的四種類型中：加權(quán)切比雪夫誤差公式可定義為： (24)??()()dEWH????其中： 為加權(quán)誤差， 為逼近誤差加權(quán)函數(shù)， 為理想幅度函數(shù)，() ()dH?為實際濾波器幅度函數(shù)。（1） 加權(quán)切比雪夫逼近誤差及交錯定理線性相位 FIR 根據(jù)單位抽樣響應(yīng) h(n)的奇偶對稱性以及 h(n)的長度 N 的奇偶性，總共可以分為四種類型。10 最大誤差最小化準(zhǔn)則在濾波器的設(shè)計中，通常情況下通帶和阻帶的誤差要求是不一樣的。 我們知道，將 x(n)補上 L－N2 個零值點，將 h(n)補上 L－N1 個零值點，然后進行 L 點圓周卷積，就可以代替原 x(n)與 h(n)的線性卷積。頻率抽樣結(jié)構(gòu)存在問題的問題是：在有限長情況下，系數(shù)量化后極點不能和零點抵消，使 FIR 系統(tǒng)不穩(wěn)定。級聯(lián)的第二部分為 N 個一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)而成，第 k 個一階網(wǎng)絡(luò)為： ，2L+1=M+1 個乘法器， 2L=M 個加法器它在單位圓上有一個極點： 由上敘的理論分析基礎(chǔ)可以得到 FIR 濾波器的頻率抽樣結(jié)構(gòu)。②系數(shù)比直接型多，所需的乘法運算多。(2) 級聯(lián)型將 H(z)分解為若干個實系數(shù)一階或二階因子相乘： （21）實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖 24 所示：圖 24 級聯(lián)型實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖????LkkkzhzH12,1, )(]0[)(?1?2 L1?212?x [ k ] y [ k ]?z ?zh [ 0 ] ?z8該結(jié)構(gòu)圖中有 2L=M 個延遲器，2L+1=M+1 個乘法器，2L =M 個加法器。 則可以直接由差分方程得出FIR 濾波器結(jié)構(gòu)如下圖所示：圖 21 差分方程得出 FIR 濾波器結(jié)構(gòu)圖這就是 FIR 濾波器的橫截型結(jié)構(gòu)，又稱直接型或卷積型結(jié)構(gòu)。從該系統(tǒng)函數(shù)可看出，F(xiàn)IR 濾波器有以下特點：nNnzhzH???10)()(1) 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) h(n)在有限個 n 值處不為零；2) 系統(tǒng)函數(shù) H(z)在|z|0 處收斂，極點全部在 z=0 處(穩(wěn)定系統(tǒng))；3) 結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中(例如頻率抽樣結(jié)構(gòu))也包含有反饋的遞歸部分。FIR 濾波器的設(shè)計法方法可以分為以下幾種：（1）頻率采樣法， （2）窗函數(shù)法， （3）雷米茲交替算法等。在 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計中，還會涉及微分器和希爾伯特變換器之類的系統(tǒng)，這類非選頻型濾波器的設(shè)計也遵循以上方法，更完善的設(shè)計則是基于任意頻域指標(biāo)的。根據(jù)這步