切比雪夫不等式及其應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫吧資料
2025-06-29 00:35本頁面
【正文】 。 第四章 切比雪夫不等式在其他領(lǐng)域的應(yīng)用[7] 有句話說的好：多一個(gè)朋友多一條路。伯努利大數(shù)定律說明：當(dāng)試驗(yàn)在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行很多次時(shí)，隨機(jī)事件的頻率將穩(wěn)定在事件的概率附近。：（伯努利大數(shù)定律）在獨(dú)立試驗(yàn)序列中，設(shè)事件的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)時(shí)，有其中是事件在次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率。 切比雪夫定律說明：獨(dú)立隨機(jī)變量序列的數(shù)學(xué)期望與方差都存在，且方差一致有上界，則經(jīng)過算術(shù)平均后得到的隨機(jī)變量，當(dāng)充分大時(shí)，它的值將比較緊密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望的附近，這就是大數(shù)定律的統(tǒng)計(jì)意義。證明：我們用切比雪夫不等式證明該定理。 證明大數(shù)定律[6] 切比雪夫大數(shù)定律利用切比雪夫不等式，我們可以證明概率論中一個(gè)重要的大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定理。 證明相關(guān)不等式：設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為試證明。解：用表示在次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)正面的次數(shù)，顯然。由切比雪夫不等式得，解得所應(yīng)滿足的不等式，又當(dāng)時(shí)，也可估計(jì)，見下面例子。解：設(shè)第次擲得的點(diǎn)數(shù)為（顯然互相獨(dú)立，），則由的分布為得故因而，由的獨(dú)立性有故。此時(shí)，在已知期望和方差的情況下，只需將改寫成或的形式，確定，再選用切比雪夫不等式進(jìn)行估計(jì)。 估計(jì)隨機(jī)變量落入有限區(qū)間的概率許多常見的隨機(jī)變量的分布，當(dāng)類型已知時(shí)，可完全由它的數(shù)學(xué)期望和方差決定。 估計(jì)事件的概率：設(shè)相互獨(dú)立，對(duì)任意給定的，試估計(jì)。切比雪夫不等式刻化了隨機(jī)變量的取值對(duì)其期望的離散程度。不足的是這兩種形式我們從上面可以看出在應(yīng)用中會(huì)有很多的條件限制，相反的它的概率形式卻要簡單的多，應(yīng)用也更廣泛，所以我們接下來要探討的就是其概率形式的應(yīng)用。由前面證明可以知道假設(shè)，則于是這與題設(shè)矛盾，故于是我們得到 所以。下證定理的后半部分：充分性：如果隨機(jī)變量滿足，其中，則 因此可以得。這就是常用的切比雪夫不等式。[3]：（積分形式）設(shè)和在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減且分段連續(xù)，則 （）若和中一個(gè)單調(diào)遞增，另一個(gè)單調(diào)遞減，則 （）證明：令，下面我們只證（）且只考慮單調(diào)遞增，即證由和在區(qū)間上單調(diào)遞增，我們可以得到對(duì)有對(duì)上式兩邊關(guān)于進(jìn)行積分，得即于是。第二章 切比雪夫不等式的基本理論 切比雪夫不等式的有限形式和積分形式[2]：（有限形式）設(shè)，為任意兩組實(shí)數(shù)，若且或且，則 （）若且或且，則 （）當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，（）和（）中的不等式等號(hào)成立。事實(shí)上，馬爾可夫不等式也是切比雪夫不等式的第一種推廣形式。作為概率論極限理論中介紹的極少數(shù)重要不等式之一，它的應(yīng)用是非常多的，它可以解決和說明很多關(guān)于分布的信息，尤其在估計(jì)某些事件的概率的上下界時(shí)我們常會(huì)用到切比雪夫不等式。其實(shí)在上面三個(gè)定理中已經(jīng)給出了切比雪夫不等式，： 定理：設(shè)是兩兩不相關(guān)的獨(dú)立隨機(jī)變量序列，且其方差存在， 若，則對(duì)任意的，皆有。又因相互獨(dú)立的隨機(jī)變量列必定兩兩無關(guān)，故泊松大數(shù)定律也是切比雪夫大數(shù)定律的特例。.這就是切比雪夫大數(shù)定律，用今天的符號(hào)可表示為：定理：設(shè)是兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，且其方差一致有界，則對(duì)任意的，皆有這里。該論文給出如下三個(gè)定理[1]：：若以表示的數(shù)學(xué)期望，用表示相應(yīng)的平方的數(shù)學(xué)期望，則對(duì)任何， 落在和 之間的的概率總小于：若以表示的數(shù)學(xué)期望，用表示相應(yīng)的平方 的數(shù)學(xué)期望，則不論取何值，個(gè)量的算術(shù)平均值和他們相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值的差不超過 的概率對(duì)任何都將大于。切比雪夫正是在概率論門庭冷落的年代從事其研究的。1837年，泊松對(duì)大數(shù)定律提出一個(gè)較寬松的條件，進(jìn)而得到泊松大數(shù)定律。因其遺著《猜度術(shù)》于1713 年出版，故概率史家稱1713 年為伯努利大數(shù)定律創(chuàng)立年。歷史上第一個(gè)極限定理是屬于雅各布這個(gè)觀點(diǎn)強(qiáng)有力地推動(dòng)了概率論的飛速發(fā)展，使其理論與方法被廣泛地應(yīng)用于各個(gè)行業(yè)。天津理工大學(xué)2011屆本科畢業(yè)論文目 錄第一章 緒論 1第二章 切比雪夫不等式的基本理論 3 切比雪夫不等式的有限形式和積分形式 3 切比雪夫不等式的概率形式
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