用微分法證明不等式_數(shù)學(xué)與應(yīng)用_數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文-文庫(kù)吧資料
2025-07-14 19:24本頁(yè)面
【正文】 (當(dāng) nt? 時(shí) ) 分析 要證明 ? ? ? ?xgxf ? , 只需求函數(shù) ? ? ? ? ? ?xgxfxF ?? 的極值 , 證明 ? ? 0min ?xF 針對(duì)本題而言 , 原式等價(jià)于ntent tn 211 ???????? ??, 因此只須證明當(dāng) nt? 時(shí) , 7 ? ? 0112 ??????? ????? nt ntenttf 恒成立 . 證明 設(shè) ? ? ? ?ntentnttf tn ???????? ???? 112 , 則 ? ? ?????? ???????? ?????????? ??????nntnenten ttfntnt 111239。 ? ? ?? ?????? ????? ba dxbaxf 2221 ? ? ? dxbaxfba 2221 ?????? ????? ? ? 3323122312 ?????? ??????????? ????? baaMbabM ? ?324 abM ??? 用求極值的方法證明不等式 在不等式的證明中 , 我們常常構(gòu)造函數(shù) ??xf , ??xf 構(gòu)造好后，如果無(wú)法得到 ? ? 039。 ? ? ?? ?????? ????????? ????????? ???????? ????????? ?? badxbaxfbaabafbabbaf 22222122239。2 ?????? ?????????? ????????? ???????? ?? baxfbaxbafbafxf ? ? ? 22212239。139。 ?? , 從而 ? ? ? ? 11 ??? sxssxf 對(duì) ??xf 在區(qū)間 ]1,[ ?ii , ni ,1,0 ?? 應(yīng)用微分中值定理 , 即由引理 1 得 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1,11,1,112,1,1121,0,10111111122111111??????????????????????????????????nnsnnnnsnnssnsnssnsnssssssss??????????? 因?yàn)? 0?s , 0?x 因此 ??0 ?xf ， ? ? ? ? ? ?kffkf k 39。 ????pfxf, 同樣由引理 2 可得 ??xf 單調(diào)遞減 , 則 ? ? ? ? 00 ?? fxf , 因此 ? ? 0)1(1 11 ????? pp xxxf 在區(qū)間 ? ?1,0 上恒成立 . 4 令 bax? 得 10,01111????????? ????????? bababa pp 等式兩邊同時(shí)乘以 b 得 0)( 111 ???? ppp abab 綜上所述 當(dāng) 1?p , ba??0 時(shí) , ppp abab 111 )( ??? 用微分中值定理證明不等式 微分 中值定理適合證明函數(shù) ??xf 與其導(dǎo)函數(shù)之間的不等式 ， 若觀察不等式出現(xiàn) ??xf39。 單調(diào)遞增 , 于是 ? ? ? ? 01139。 xxxfxxxfxxxfxfxf ?????????? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 10100 !1! ?? ???????? nnnn xxnfxxn xf ?? 引理 4[6] (詹森不等式 )若 ??xf 為 ? ?ba, 上的凸 函數(shù) , 則對(duì)任意? ?baxi ,? , ? ?nii ,2,10 ???? , 11 ???ni i?, 有 ? ?ini ini ii xfxf ???????? ? ???? 11 ?? 如果 ??xf 為 ? ?ba, 上的凹函數(shù) , 則 ? ?ini ini ii xfxf ???????? ? ???? 11 ?? 2 用微分法證明不等式 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式 , 首先根據(jù)題設(shè)條件及所證不等式 , 構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù) ??xf , 并確定區(qū)間 ? ?ba, ；然后利用導(dǎo)數(shù)確定 ??xf 在 ? ?ba, 上的單調(diào)性；最后根據(jù) ??xf 的單調(diào)性導(dǎo)出所證的不等式 . 例 設(shè) 1?p 為正常數(shù) , 試證 : 如果 ba??0 , 則 ppp abab 111 )( ??? . 分析 將要證明的結(jié)果兩邊同時(shí)除以 b 得 3 pp baba 11 )1()(1 ??? , 10 ??ba 于是構(gòu)造函數(shù) ? ? )10()1(1 11 ?????? xxxxf pp , 只要證明 ??xf 在區(qū)間 ? ?1,0上的最大值小于或者等于 0 即可 . 證明 設(shè)函數(shù) ? ? ? ?10)1(1 11 ?????? xxxxf pp , 則 (1)當(dāng) 1?p 時(shí) , ? ?1,0??x , ? ? 011)( ????? xxxf , 即 ?? 0?f 令 bax? 得 0)1(1 ???? baba 兩邊再同時(shí)乘以 b 得 abab ??? 因此當(dāng) 1?p 時(shí) ,
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