切比雪夫不等式及其應用畢業(yè)論文-文庫吧
2025-06-08 00:35 本頁面
【正文】 …………把上述n個式子相加，得 上式兩邊同除以，得 等號當且僅當或時成立。[3]：（積分形式）設和在區(qū)間上單調遞增或遞減且分段連續(xù)，則 （）若和中一個單調遞增，另一個單調遞減，則 （）證明：令，，下面我們只證（）且只考慮單調遞增，即證由和在區(qū)間上單調遞增，我們可以得到對有對上式兩邊關于進行積分，得即于是。 切比雪夫不等式的概率形式[4]：（概率形式）設隨機變量的數(shù)學期望與方差存在 ，則對于任意正數(shù)，有不等式 （）或 （）都成立，且存在使得等號成立的充要條件為，其中。這就是常用的切比雪夫不等式。證明：①設為離散型隨機變量，其分布列：則②設為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為，則有 由于與是對立事件，故有。下證定理的后半部分：充分性：如果隨機變量滿足，其中，則 因此可以得。必要性：設隨機變量的分布函數(shù)為，由題設知而假設，則于是有這與題設矛盾，故。由前面證明可以知道假設，則于是這與題設矛盾，故于是我們得到 所以。切比雪夫不等式的有限形式主要用于代數(shù)不等式的解題，在代數(shù)不等式證明方面有很重要的應用；而它的積分形式是微積分中幾個重要不等式之一，可以靈活簡便的解決一些較難積分不等式的題型。不足的是這兩種形式我們從上面可以看出在應用中會有很多的條件限制，相反的它的概率形式卻要簡單的多，應用也更廣泛，所以我們接下來要探討的就是其概率形式的應用。第三章 切比雪夫不等式在概率論中的應用 估計概率 隨機變量取值的離散程度切比雪夫不等式估計出隨機變量在區(qū)間內取值的概率不小于（其中為方差，下文出現(xiàn)的均為方差），由此可知：若方差越小，則概率越大，說明隨機變量取值在數(shù)學期望 附近的密集程度越高；若方差越大, 則概率越小，說明隨機變量取值在數(shù)學期望附近的密集程度越低。切比雪夫不等式刻化了隨機變量的取值對其期望的離散程度。 隨機變量取值偏離超過的概率在切比雪夫不等式中，取，則可見，對任何分布,只要期望和方差存在，則隨機變量取值偏離超過的概率是很小的，不超過0. 111。 估計事件的概率：設相互獨立，，對任意給定的，試估計。解：依題意得： 由切比雪夫不等式得。 估計隨機變量落入有限區(qū)間的概率許多常見的隨機變量的分布，當類型已知時，可完全由它的數(shù)學期望和方差決定。當隨機變量的分布未知時，通過期望與方差利用切比雪夫不等式可以粗略估計隨機變量落入關于其數(shù)學期望對稱區(qū)間內的概率。此時，在已知期望和方差的情況下，只需將改寫成或的形式，確定，再選用切比雪夫不等式進行估計。：一顆骰子連續(xù)擲6 次，點數(shù)總和記為，試估計。解：設第次擲得的點數(shù)為（顯然互相獨立，），則由的分布為得故因而，由的獨立性有故。 求解或證明一些有關概率的不等式[5] 求解相關不等式已知及事件的概率至少為，估計。由切比雪夫不等式得，解得所應滿足的不等式，又當時，也可估計，見下面例子。 ：投擲一枚硬幣，為了至少有90%的把握使正面向上的頻率在0. 49 與0. 51 之間，試估計需要的投擲次數(shù)。解：用表示在次實驗中出現(xiàn)正面的次數(shù)，顯然。那么次試驗中事件出現(xiàn)的頻率為由切比雪夫不等式得由題意可知 解得 即至少要投擲這枚硬幣25000 次，才能至少有90%的把握使正面向上的頻率在0. 49 與0. 51之間。 證明相關不等式：設隨機變量的概率密度函數(shù)為試證明。證明：所以由于故由切比雪夫不等式得到。 證明大數(shù)定律[6] 切比雪夫大數(shù)定律利用切比雪夫不等式，我們可以證明概率論中一個重要的大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定理。：（切比雪夫大數(shù)定律） 設獨立隨機變量序列 的數(shù)學期望和方差都存在，并且方差是一致有上界的，即存在常數(shù)，使得 則對于任意的正數(shù)，有。證明：我們用切比雪夫不
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