淺談高等代數(shù)在中學(xué)的應(yīng)用-文庫(kù)吧資料
2025-06-28 17:17本頁(yè)面
【正文】 學(xué)中原來(lái)只有解析法、列表法和圖像法，這對(duì)于擴(kuò)充學(xué)生的知識(shí)視野，尤其是對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的需要，中學(xué)數(shù)學(xué)引入矩陣可為表達(dá)映射提供一種新的方法。這個(gè)結(jié)論表明了二次多項(xiàng)式或二次型可分解與否的判別方法,至于具體的分解方法,一般是利用配方法或二次型理論中的矩陣合同變換法把二次型先化為標(biāo)準(zhǔn)型,再作進(jìn)一步的因式分解。根據(jù)二次型理論,可以證明以下結(jié)論:復(fù)數(shù)域上二次型可分解的充要條件是它的秩不超過(guò)2。容易證明:n元二次多項(xiàng)式可分解的充要條件是對(duì)應(yīng)的二次型可分解為兩個(gè)n +1元一次齊次式的乘積。比如由二元二次多項(xiàng)可構(gòu)成三元二次型 反之,由二次型取z=1,得相應(yīng)的二次多項(xiàng)式。比如下面就是一個(gè)線性方程組的例子：例：一個(gè)廟里有一百個(gè)和尚，這中間有大和尚有小和尚，這一百個(gè)和尚每頓飯總共吃一百個(gè)饅頭，其中大和尚一個(gè)人吃三個(gè)，小和尚三個(gè)人吃一個(gè)，問(wèn)大和尚和小和尚各多少人?解 設(shè)大和尚的數(shù)目是，小和尚的數(shù)目是，則有， 解之得 其實(shí)，更多元的線性方程組也是同樣的解法.定理 含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是:方程組的系數(shù)行列式等零.例1已知函數(shù),證明、中至少有一個(gè)不小于.解 把=1,2,3代入函數(shù)表達(dá)式,列方程組上述關(guān)于a、b、1的齊次線性方程組有非零解,故,展開整理得，假設(shè)結(jié)論不成立,即, , ,易推出,從而產(chǎn)生矛盾,故命題成立.例2 已知，求證：.證明：由已知得關(guān)于得方程組因?yàn)椴豢赡転榱?，所以由定理知化?jiǎn)得即.由已知條件的結(jié)構(gòu)特征與待解問(wèn)題之間的關(guān)系建立齊次線性方程組,構(gòu)造三階行列式,其解題思路新穎,能夠巧妙地解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的若干棘手問(wèn)題,凸顯了用高等數(shù)學(xué)理論與方法解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的優(yōu)越性.第3章 二次型理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)里有時(shí)遇到多元二次多項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題,我們可以利用高等代數(shù)中二次型理論來(lái)探討復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多元二次多項(xiàng)式的分解條件及分解方法。平面族互相平行的條件是對(duì)應(yīng)的方程組無(wú)解,相當(dāng)于系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩不相等。（1）平面族共線的條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都等于。實(shí)際上,平面族交于一點(diǎn)的條件是對(duì)應(yīng)的方程組有唯一解,相當(dāng)于系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都等于。、共線、平行與重合的問(wèn)題。將求解問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為行列式的計(jì)算,避免了消元法的繁瑣計(jì)算。特別地,在一定條件下,方程組的唯一解可以用公式形式給出,即Cramer法則。消元法是中學(xué)數(shù)學(xué)求解二(三)元一次方程組的基本方法,在高等代數(shù)中可以得到理論上的完美解釋,即由于線性方程組的初等變換保持同解性,所以消元法可行,而且消元法的實(shí)質(zhì)是反復(fù)對(duì)方程組作初等變換,或者說(shuō)消元法是對(duì)線性方程組的增廣矩陣作行的初等變換的過(guò)程。線性方程組的理論是線性代數(shù)的重要理論結(jié)果,它是中學(xué)數(shù)學(xué)方程組求解方法的理論化與規(guī)范化。這里結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)著重探討行列式的應(yīng)用。 vector.引言:線性代數(shù)是學(xué)習(xí)自然科學(xué)、工程和社會(huì)科學(xué)的一門高度抽象且邏輯性很強(qiáng)的基礎(chǔ)理論課程，它本身理論性強(qiáng)，并且計(jì)算繁雜．作為高等學(xué)?；A(chǔ)課，除了作為各門學(xué)科的重要工具以外，還是提高人才的全面素質(zhì)中起著重要的作用，他在培育理性思維和審美功能方面的作用也得到充分的重視．可以說(shuō)任何與數(shù)學(xué)有關(guān)的課程都涉及線性代數(shù)知識(shí)．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就必須解題，解題要以自己的實(shí)踐過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)．本文在闡述
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