【正文】 些 條件可求得 ? 的值 . AFAC 59AEAC 513 EFAE52aEFAE解題關(guān)鍵 本題主要考查了矩形的性質(zhì) ,軸對(duì)稱 ,菱形的判定 ,相似三角形的判定與性質(zhì)等知 識(shí) ,題目綜合性強(qiáng)、計(jì)算量大 ,屬難題 .解題的關(guān)鍵在于從復(fù)雜的條件中確定解決問題所需的條 件 ,進(jìn)而推理、論證、計(jì)算 ,使題目得以解答 . 考點(diǎn)二 菱形 1.(2022陜西 ,8,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,點(diǎn) E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點(diǎn) , 連接 EF、 FG、 GH和 EH=2EF,則下列結(jié)論正確的是 ? ( ) ? =? EF =? EF =2EF =? EF 2 35答案 D 如圖 ,連接 AC、 BD交于 O, ? ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD, ∵ 點(diǎn) E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點(diǎn) , ∴ EF=? AC,EH=? BD, ∵ EH=2EF,∴ BD=2AC,∴ OB=2OA, ∴ AB=? =? OA, 易知 OA=EF,∴ AB=? EF,故選 D. 12 1222OB OA? 55思路分析 首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到 AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD,然后根據(jù)三角形中位線定理 得出 EF=? AC,EH=? BD,進(jìn)而得到 OB=2OA,最后根據(jù)勾股定理求得 AB=? OA,即得 AB=? EF. 12 125 52.(2022河南 ,10,3分 )如圖 1,點(diǎn) F從菱形 ABCD的頂點(diǎn) A出發(fā) ,沿 A→ D→ B以 1 cm/s的速度勻速運(yùn) 動(dòng)到點(diǎn) 2是點(diǎn) F運(yùn)動(dòng)時(shí) ,△ FBC的面積 y(cm2)隨時(shí)間 x(s)變化的關(guān)系圖象 ,則 a的值為 ? ( ) ? 圖 1 ? 圖 2 A.? C.? ? 5525答案 C 如圖 ,作 DE⊥ BC于點(diǎn) E,在菱形 ABCD中 ,當(dāng) F在 AD上時(shí) ,y=? BCPC。PC得 PC=4a, ∴ DC=AB=5a,? (8分 ) ∴ MA=MB=? , ∵ CD∥ AB, ∴∠ ABF=∠ CPF,∠ BAF=∠ PCF, ∴ △ BFA∽ △ PFC, ∴ ? =? =? =? ,? (9分 ) ∴ ? =? , 同理可得△ MEA∽ △ PEC, 52aAFCF ABCP54 aa 54AFAC 59∴ ? =? =? =? , ∴ ? =? ,? (10分 ) ∴ ? =? ? =? ? =? ,? (11分 ) ∵ ? ∶ ? =? , ∴ ? =? ∶ ? =? .? (12分 ) 解法二 :過點(diǎn) F作 FG∥ PM,交 MB于點(diǎn) G. ? ∵∠ APM=∠ PAM, AECEAMCP524aa58AEAC 513EFAC AFACAEAC 59 51320227EFAC AEAC EFAEEFAE 20227 51349∴ PM=AM, ∵ PM=MB, ∴ AM=MB, ∵ 四邊形 ABCD為矩形 , ∴ CD∥ AB且 CD=AB, 設(shè) DP=a,則 AD=2DP=2a, 由 AD2=DP,∠ APM+∠ BPM=90176。P, ∴∠ APD=∠ APM, ∵ CD∥ AB, ∴∠ APD=∠ PAM, ∴∠ APM=∠ PAM,? (6分 ) ∵∠ APB=90176。PC. ∵ AD=BC, ∴ AD2=DP, ∴∠ DAP=∠ CPB,? (1分 ) ∴ △ ADP∽ △ PCB, ∴ ? =? ,? (2分 ) ∴ AD, ∵∠ APB=90176。 (3)如圖 2,連接 AC,分別交 PM,PB于點(diǎn) E, ? =? ,求 ? 的值 . ? DPAD 12EFAE解析 (1)證明 :在矩形 ABCD中 ,AD=BC,∠ C=∠ D=90176。PC。P,PD39。DE=? . 所以 ? ≤ S≤ ? . ? 圖 2 12 3421230 3 344?30 3 344? 30 3 344?6.(2022云南昆明 ,23,12分 )如圖 1,在矩形 ABCD中 ,P為 CD邊上一點(diǎn) (DPCP),∠ APB=90176。② 由①知 ∠ BAD=∠ BAO,再根據(jù)矩形的性質(zhì)得 ∠ CBA=∠ OAB,從而 ∠ BAD=∠ CBA,故 BH=AH,在 Rt△ ACH 中 ,運(yùn)用勾股定理可求得 AH的長 ,得出 H點(diǎn)的坐標(biāo) .(3)在矩形旋轉(zhuǎn)的過程中 ,根據(jù)點(diǎn) K與直線 DE 的距離范圍即可確定 S的取值范圍 . 提示 如圖 1,當(dāng)矩形頂點(diǎn) D在線段 AB上時(shí) ,點(diǎn) K到直線 DE的距離最小 ,最小值為線段 DK的長 , DK=AD? AB=5? , S=? DK. 由 (1)知 ,AD=AO,又 AB=AB,∠ AOB=90176。. ∵ 矩形 ADEF是由矩形 AOBC旋轉(zhuǎn)得到的 , ∴ AD=AO=5. 在 Rt△ ADC中 ,有 AD2=AC2+DC2, ∴ DC=? =? =4. ∴ BD=BCDC=1. ∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (1,3). (2)① 證明 :由四邊形 ADEF是矩形 ,得 ∠ ADE=90176。 ② 求點(diǎn) H的坐標(biāo) 。 ∵ △ FHG∽ △ EDF, ∴ ? =? , ∴ ? =? ,∴ FG=5, ∴ AG+DF=5,∴ AG+DF=FG,④ 正確 . DEAB DFAG 836 233232FGEF HFDE103FG4835.(2022天津 ,24,10分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,四邊形 AOBC是矩形 ,點(diǎn) O(0,0),點(diǎn) A(5,0),點(diǎn) B(0,3),以 點(diǎn) A為中心 ,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形 AOBC,得到矩形 ADEF,點(diǎn) O,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 D,E,F. (1)如圖 a,當(dāng)點(diǎn) D落在 BC邊上時(shí) ,求點(diǎn) D的坐標(biāo) 。 ∵ AB=6,BF=BC=10,∴ AF=8, ∴ FD=ADAF=108=2, 設(shè) DE=x,則 EF=CE=6x,在 Rt△ DEF中 , ∵ DF2+DE2=EF2, ∴ 22+x2=(6x)2,∴ x=? , 即 DE=? ,∴ EF=? , ∵ BH=AB=6, ∴ HF=BFBH=106=4, 又易知 Rt△ DEF∽ Rt△ HFG, ∴ ? =? , 即 ? =? , 8383 103EDHF EFGF834103GF∴ GF=5,∴ AG=3, 若△ DEF∽ △ ABG,則 ? =? ,但 ? ≠ ? ,故②不正確 。, ∴∠ EBG=45176。③ S△ ABG=? S△ FGH。點(diǎn) G在 AF上 ,將△ ABG沿 BG折疊 ,點(diǎn) A恰落在線段 BF上的點(diǎn) H處 .有下 列結(jié)論 : ① ∠ EBG=45176。, ∴∠ BAM=∠ ∵∠ B=∠ AED=90176。② 作直線 MN交 CD于點(diǎn) DE=2,CE=3,則矩形 的對(duì)角線 AC的長為 . ? 12答案 ? 30解析 如圖 ,連接 AE,由作圖方法得 MN垂直平分 AC,∴ EA=EC=3. ∴ 在 Rt△ ADE中 ,AD=? =? =? . ∴ 在 Rt△ ADC中 ,AC=? =? =? . ? 22AE DE? 2232? 522AD DC? 22( 5) 5? 30思路分析 連接 AE,根據(jù)題中的作圖方法 ,可得 MN垂直平分 AC,則 EA=EC=3,用勾股定理先計(jì) 算出 AD,再計(jì)算出 AC,得解 . 解題關(guān)鍵 本題考查了矩形的性質(zhì) ,基本作圖 (作已知線段的垂直平分線 ),勾股定理 ,識(shí)別基本 作圖并熟練應(yīng)用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵 . 3.(2022黑龍江哈爾濱 ,20,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,M為 BC邊上一點(diǎn) ,連接 AM,過點(diǎn) D作 DE⊥ AM,垂足為 E,若 DE=DC=1,AE=2EM,則 BM的長為 . ? 答案 ? 255解析 ∵∠ BAM+∠ EAD=90176。,AB=4,則 OC =? ( ) ? 答案 B 因?yàn)樗倪呅?ABCD為矩形 ,所以 AC=BD,OC=? ∠ ADB=30176。, ∵∠ ABM+∠ CBF=90176。, ∴∠ BAM=∠ CBF. 在△ ABE和△ BCF中 ,? ∴ △ ABE≌ △ BCF(ASA), ∴ AE=BF. (2)AB=? BC. 證明 :∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴∠ ABC=∠ C, ∵ AE⊥ BF, ,B A E C B FA B C BA B E B C F? ? ?????? ? ? ??23∴∠ AMB=90176。,∴∠ BAM+∠ ABM=90176。. 7.(2022河池 ,22,8分 ) (1)如圖 1,在正方形 ABCD中 ,點(diǎn) E,F分別在 BC,CD上 ,AE⊥ BF于點(diǎn) M,求證 :AE=BF。15176。2=15176。. ∵ AB=AE, ∴∠ AEB=∠ ABE=(180176。+60176。. ∵ 三角形 ADE為等邊三角形 , ∴ AD=AE,∠ DAE=∠ AED=60176。是解題關(guān)鍵 . 6.(2022南寧 ,16,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD的外側(cè) ,作等邊△ ADE,則 ∠ BED的度數(shù)為 176。,∠ E=30176。=30176。, ∴∠ E=∠ BAE=∠ BAC∠ CAE=45176。,則 AE= . ? 答案 8 解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ BAC=45176。, 又 EF∥ BC, ∴ AD∥ EF∥ BC, ∴ EF⊥ CD, ∴ PM∥ EF∥ QN. ∴ M、 N分別為 DF、 FC的中點(diǎn) , ∴ MN=? CD=6,DM=? DF=2,NC=? FC=4,QN=? EF=6. 又 BD為正方形 ABCD的對(duì)角線 , ∴∠ BDC=45176。 ∵ AB=BC,CM=BN, ∴ BM=AN, 又 ∵ Rt△ BMN中 ,BM2+BN2=MN2, ∴ AN2+CM2=MN2,故④正確 。, ∴∠ MON=90176。,OC=OB, ∴ △ OCM≌ △ OBN(SAS), ∴ OM=ON,∠ COM=∠ BON, ∴∠ DOC+∠ COM=∠ COB+∠ BON,即 ∠ DOM=∠ CON, 又 ∵ DO=CO, ∴ △ CON≌ △ DOM(SAS),故②正確 。, ∴ △ CNB≌ △ DMC(ASA),故①正確 。, 又 ∵ CN⊥ DM, ∴∠ CDM+∠ DCN=90176。⑤ 若 AB=2,則 S△ OMN的最小值是 ? ,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ? ( ) ? 12答案 D ∵ 正方形 ABCD中 ,CD=BC,∠ BCD=90176。③△ OMN∽ △ OAD。得到△ ABF,連接 EF,則線段 EF的長 為 ? ( ) ? ? C.? D.? 3 13 15答案 C 連接 BM,如圖所示 . ? 由對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)可知 ,△ ADM≌ △ AEM≌ △ ABF, ∴ AD=AE=AB,AF=AM,∠ FAB=∠ MAD=∠ MAE, ∴∠ FAB+∠ BAE=∠ MAE+∠ BAE, ∴∠ FAE=∠ MAB, 在△ FAE和△ MAB中 , ? ∴ △ FAE≌ △ MAB(SAS). ,A F A MF A E M A BA E A B???? ? ?????∴ EF=BM, 又在正方形 ABCD中 ,AB=DC=BC=3, 而 DM=1,∴ MC=2, ∴ 在 Rt△ BCM中 ,根據(jù)勾股定理得 BM=? =? =? , ∴ EF=? ,故選 C. 22BC MC? 2232? 13132.(2022貴港 ,12,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,O是對(duì)角線 AC與 BD的交點(diǎn) ,M是 BC邊上的動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn) M不與 B,C重合 ),CN⊥ DM,CN與 AB交于點(diǎn) N,連接 OM,ON, :①△ CNB≌ △ DMC。,求四邊形 AECF的面積 .(結(jié)果保留根號(hào) ) 3解析 (1)證明 :∵ O是 AC的中點(diǎn) ,且 EF⊥ AC, ∴ AF=CF,AE=CE,OA=OC. ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD∥ BC, ∴∠ AFO=∠ CEO. 在△ AOF和△ COE中 ,∵ ? ∴ △ AOF≌ △ COE(AAS). ∴ AF=CE.∴ AF=CF=CE=AE. ∴ 四邊形 AECF是菱形 . (2)∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ CD=AB=? . 在 Rt△ CDF中 ,CF=? =? =2. ∵ 四邊形 AECF是菱形 ,∴ CE=CF=2. ∴ 四邊形 AECF的面積為 EC (2)若四邊形 AECD的面積為 24,tan∠ BAC=? ,求 BC的長 . ? 34解析 (1)證明 :∵ O是 AC的中點(diǎn) , ∴