平行四邊形及特殊平行四邊形復(fù)習(xí)課-文庫(kù)吧資料
2025-08-07 17:39本頁(yè)面
【正文】 2倍． 例 9．已知：如圖，△ ABC中，點(diǎn) O是 AC上邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O作直線 MN∥ BC， MN交 ∠ BCA的平分線于點(diǎn) E，交 ∠ BCA的外角平分線于點(diǎn) F． （ 1）求證 EO＝ FO． （ 2）當(dāng)點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形 AECF是矩形？證明你的結(jié)論． 【 提示 】 （ 1）證明OE＝ OC＝ OF； （ 2） O點(diǎn)的位置首先滿足四邊形AECF是平行四邊形，然后證明它此時(shí)也是矩形． 【 答案 】 （ 1） ∵ CE平分 ∠ BCA， ∴ ∠ BCE＝ ∠ ECO． 又 MN∥ BC， ∴ ∠ BCE＝ ∠ CEO． ∴ ∠ ECO＝ ∠ CEO． ∴ OE＝ OC． 同理 OC＝ OF． ∴ OE＝ OF． ? （ 2）當(dāng)點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)到 AC邊的中點(diǎn)時(shí)，四邊形 AECF是矩形，證明如下： ∵ OE＝ OF，又 O是 AC的中點(diǎn)， 即 OA＝ OC， ∴ 四邊形 AECF是平行四邊形． ∵ CE、 CF分別平分 ∠ BCA、 ∠ ACD，且 ∠ BCA＋ ∠ ACD＝ 180176。 － 2∠ 2． ∴ ∠ EMC＋ ∠ FNC＝ 360176。 － ∠ 1－ ∠ 3＝ 180176。 例 7．如圖， E是矩形 ABCD的邊 AD上一點(diǎn)，且 BE＝ ED， P是對(duì)角線 BD上任意一點(diǎn)，PF⊥ BE， PG⊥ AD，垂足分別為 F、G．求證： PF＋ PG＝ AB． ? 【 答案 】 ∵ BE＝ DE， ? ∴ ∠ EBD＝ ∠ EDB． ∵ 在矩形 ABCD中， AD∥ BC， ? ∴ ∠ DBC＝ ∠ ADB， ? ∴ ∠ EBD＝ ∠ CBD． ? 延長(zhǎng) GP交 BC于 H點(diǎn)． ? ∵ PG⊥ AD， ? ∴ PH⊥ BC． ? ∵ PF⊥ BE， P是 ∠ EBC的平分線上． ? ∴ PF＝ PH． ? ∵ 四邊形 ABHG中， ? ∠ A＝ ∠ ABH＝ ∠ BHG＝ ∠ HGA＝90176。 （ C） 60176。 DF⊥ BC于 F ∴ AD=FD AE=FD ∵ AH⊥ BC于 H， DF⊥ BC于 F ∴ AH∥ DF，即 AE∥ FD ∴ AEFD為平行四邊形 ∴ AE=AD ∴ AEFD為菱形 例 6． (1)如圖，周長(zhǎng)為 68的矩形 ABCD被分成 7個(gè)全等的矩形，則矩形 ABCD的面積為（ ） （ A） 98（ B） 196 （ C） 280 （ D） 284 (2)如圖， E為矩形 ABCD的邊 CD上 的一點(diǎn)， AB＝ AE＝ 4， BC＝ 2，則 ∠ BEC是 （ ） （ A） 15176。 ∵∠ 1=∠ 2 ∴∠ 1+∠ DBF=90176。 ， ∴∠ ADB+∠ ABD=90176。 分析：利用角平分線的性質(zhì)可以證明 AD=DF。 ，∠ ABC的角平分線交 AC于 D， AH⊥ BC于 H，交 BD于 E， DF⊥ BC于 F。 后與 △ COF重合 ∴ OE＝ OF 上述命題可推廣如下： 已知平行四邊形 ABCD中， AC和 BD交于 O，過(guò)點(diǎn)O作直線 EF交 AD于 E，交 BC于 F，則 OE＝ OF. 求解（略） . 這個(gè)推廣后的命題，是平行四邊形中一個(gè)十分重要
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