【正文】 ? / l ，以順時針轉(zhuǎn)向為正。 l A B A l B A l 單跨超靜定梁由于荷載、溫度改變等作用所產(chǎn)生的桿端彎矩和桿端剪力，通常稱為 固端彎矩 和固端剪力 。m） 等截面單跨超靜定梁 的桿端內(nèi)力 在超靜定結(jié)構(gòu)的計算中，常常用到等截面單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力。 10kN 10kN 10kN 10kN 6m 6m 20kN 2 EI 2 EI 3 EI （ 2）基本體系 在反對稱荷載作用下，基本體系如圖所示。 在對稱荷載作用下，忽略橫梁軸向變形，只有橫梁承受壓力 10kN，其他桿件無內(nèi)力。 6m 6m 20kN 2 EI 2 EI 3 EI 解 ：（ 1）對稱性分析 三次超靜定對稱剛架，非對稱荷載。 在對稱荷載作用下，對稱結(jié)構(gòu)的彎矩圖、軸力圖是對稱的，剪力圖是反對稱的； 在反對稱荷載作用下，對稱結(jié)構(gòu)的彎矩圖、軸力圖是反對稱的，剪力圖是對稱的。 F P I F C E B A C39。 F P I F C E B A C39。 q C E A q F C E D B A （ 2）反對稱荷載作用 因變形的反對稱性，對稱柱 CD有彎曲變形，對稱軸上 C點經(jīng)變形移到 C′點，剛結(jié)點 C有轉(zhuǎn)角，C點的豎向位移為零。 而 C點左右兩側(cè)的橫梁截面則有一對互相平衡的力矩、軸力以及和柱 CD軸力平衡的對稱的剪力。 C B A F P 2．偶數(shù)跨對稱剛架 （ 1）對稱荷載作用 由變形的對稱性可知， C點的水平位移和轉(zhuǎn)角等于零。 C B A F P 因此，取半邊結(jié)構(gòu)計算時， C端可取為可動鉸支座。 受力也是反對稱的，在對稱軸截面 C上只有反對稱內(nèi)力 —— 剪力，而對稱內(nèi)力 —— 彎矩和軸力等于零。 q C A D q C39。 q C39。 1．奇數(shù)跨對稱剛架 （ 1）對稱荷載作用 （ 2）反對稱荷載作用 2．偶數(shù)跨對稱剛架 （ 1）對稱荷載作用 （ 2）反對稱荷載作用 變形是對稱的，對稱軸上的截面 C移到對稱軸上的 Cˊ，只有豎向位移，水平位移和轉(zhuǎn)角為零。 （ 3）若結(jié)構(gòu)對稱，外荷載不對稱時，可將外荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載而分別計算，然后疊加。 （ 2）對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，變形是反對稱的，支座反力和內(nèi)力也是反對稱的。 1M 2MF P F P X 1 = X 2 =0 X 3 F P F P 因此 1 P 2 P00? ? ? ? MP圖 從上述分析可得到如下結(jié)論： （ 1）對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，變形是對稱的，支座反力和內(nèi)力也是對稱的。 F P F P X 1 X 1 X 2 X 2 X 3 =0 F P F P 因此 3P 0??MP圖 3M在反對稱荷載作用下，基本結(jié)構(gòu)的荷載彎矩圖和變形圖是反對稱的，而 圖和 圖是對稱的。 在對稱荷載作用下，基本結(jié)構(gòu)的荷載彎矩圖和變形圖是對稱的，而 圖是反對稱的。 力法方程 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 P2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 P3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 P000X X XX X XX X Xd d dd d dd d d? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??對稱未知力 X1和 X2所產(chǎn)生的彎矩圖和及變形圖是對稱的； 反對稱未知力 X3所產(chǎn)生的彎矩圖及變形圖是反對稱的。 可沿對稱軸上梁的中間截面 C切開，所得的基本體系是對稱的。 反對稱荷載 —— 繞對稱軸對折后，對稱軸兩邊的荷載正好相反。 h l /2 l /2 y y EI 2 EI 2 EI 1 對稱軸 EI 2 EI 2 EI 1 EI 1 x x b /2 b /2 a /2 a /2 y y 對稱軸 對稱軸 k k l l EI EI 2．荷載的對稱性 任何荷載都可以分解為兩部分：一部分是對稱荷載，另一部分是反對稱荷載。m） 1 1 .1 k NX ?? 對稱性的利用 在實際的建筑結(jié)構(gòu)工程中，很多結(jié)構(gòu)是對稱的，可以利用結(jié)構(gòu)的對稱性，適當?shù)倪x取基本結(jié)構(gòu)，使力法典型方程中盡可能多的副系數(shù)及自由項等于零，從而使計算工作得到簡化。 1 1 PM M X M??6 6 2 2 X 1 =1 18 36 4 4 2 2 B A 4 2 2 9 . 4 1 1 PM M X M??1M圖 M圖（ kN （ 2）列力法方程 X 1 X 1 q =1kN/m B I 2 I 1 D C I 1 I 2 A q =2kN/m q =1kN/m q =2kN/m B A I 2 I 2 I 1 I 1 D C EA= ∞ 1 1 1 1 P 0Xd ? ? ?（ 3）計算系數(shù)和自由項 6 6 2 2 X 1 =1 18 36 4 4 2 2 1M圖 MP圖（ kN q =1kN/m q =2kN/m B A I 2 I 2 I 1 I 1 D C EA= ∞ 解： （ 1）選擇基本體系 此排架為一次超靜定結(jié)構(gòu)。但因鏈桿的剛度，在計算系數(shù)和自由項時，不計鏈桿軸向變形的影響，只考慮柱的彎矩對變形的影響。m） FQ圖（ kN） ③ 作軸力圖 從以上結(jié)果可以看出：在荷載作用下，多余力以及結(jié)構(gòu)內(nèi)力的大小只與各桿的相對剛度有關(guān)。 1 1 2 2 PM M X M X M? ? ?18 102 A B C 36 36 M圖（ kN 3m 3m 6m EI 2 =2 EI 1 EI 1 80kN A C B 解： （ 1）選擇基本體系 基本未知量： X X2，基本體系如圖。 1 1 2 2 3 3 PM M X M X M X M? ? ? ?24 2 ql 12 2 ql ql 2 12 B A l A q B EI M 圖 2）剪力圖 利用已作出的彎矩圖，取桿件為隔離體，再由平衡條件計算出桿端的剪力，然后作出剪力圖。 （ 2）列力法方程 X 1 X 2 X 3 l A q B EI l A q B EI 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 P2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 P3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 P000X X XX X XX X Xd d dd d dd d d? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??（ 3）計算系數(shù)和自由項 1 X 1 =1 B A X 2 =1 1 B A 1M圖 2M圖 111 1 2[ ( 1 ) 1 ]2 3 3llE I E Id ? ? ? ? ? ?221 1 2[ ( 1 ) 1 ]2 3 3llE I E Id ? ? ? ? ? ?1 2 2 11 1 1[ ( 1 ) 1 ]2 3 6llE I E Idd ? ? ? ? ? ? ? ? ?8 2 ql q B A F N3 =1 M 3 =0 X 3 =1 B A 3M圖 MP圖 231P1 2 1[ ( ) 1 ]3 8 2 24ql qllEI? ? ? ? ? ? ?232P1 2 1[ ( ) 1 ]3 8 2 2 4q l q llEI? ? ? ? ? ? ? ? ?1 3 3 1 0dd?? 2 3 3 2 0dd?? 3P 0??1 X 1 =1 B A X 2 =1 1 B A 1M圖 2M圖 F N3 =1 M 3 =0 X 3 =1 B A 在計算 d33時，因為彎矩 =0，故需要考慮軸向變形的影響，因而 3M223 N 333 d d 0MF llxxEI EA EA EAd ? ? ? ? ???（ 4）解力法方程，求基本未知量 將系數(shù)和自由項代入力法方程，化簡得 X3=0表明兩端固定梁在垂直于梁軸線的荷載作用下并不產(chǎn)生水平反力。 l A q B EI 解： （ 1）選擇基本體系 三次超靜定結(jié)構(gòu)。 超靜定梁和剛架 例 13–1 計算圖示兩端固定梁，并繪制彎矩圖 M和剪力圖 FQ。 將求得的系數(shù)與自由項代入力法典型方程，解出各多余未知力 X X … Xn。基本結(jié)構(gòu)由荷載產(chǎn)生的沿 Xi方向的位移。基本結(jié)構(gòu)由于單位力 Xj=1的作用，而在 Xi處沿 Xi方向所產(chǎn)生的位移，其值可為正、負或為零?；窘Y(jié)構(gòu)僅在單位力 Xi=1單獨作用時，在 Xi處沿 Xi自身方向上所引起的位移，其值恒為正，不會等于零。 這 n個變形條件可寫為 —— n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程，通常稱為力法典型方程。 注意：因 X1和 X2的含義不同，方程的意義也不同。此外，也可利用疊加原理求內(nèi)力，如任一截面彎矩 M的疊加計算公式為 1 1 2 2 PM M X M X M? ? ?同一結(jié)構(gòu)可以按不同的方式選取力法的基本結(jié)構(gòu)和基本未知量。 1 1 1 1 1 2 2 1 P2 2 1 1 2 2 2 2 PXXXXdddd? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??dij —— 基本結(jié)構(gòu)在 Xj =1單獨作用時，在 Xi處、沿Xi方向的位移； ?iP —— 基本結(jié)構(gòu)僅在荷載單獨作用時，在 Xi處、沿 Xi方向的位移。即點沿 X1和 X2方向的位移、都應(yīng)等于零，即 ?1—— 基本結(jié)構(gòu)在 X X2和荷載共同作用下在 X1處、沿 X1方向的位移，即 B點的水平位移； ?2—— 基本結(jié)構(gòu)在 X X2和荷載共同作用下在 X2處、沿 X2方向的位移，即 B點的豎向位移。 X1和 X2即為基本未知量。 力法典型方程 以二次超靜定剛架為例。 41P1 31138()83qlEIX q llEId??? ? ? ? ? ?結(jié)構(gòu)任一截面的彎矩也可利用 和 MP圖由疊加法求出，即 1M+ B A 3 ql 8 8 5 ql l 2 l 2 A ql 2 16 8 2 ql