立體幾何解題技巧及高考類型題—老師專用-文庫(kù)吧資料
2025-04-23 08:01本頁(yè)面
【正文】 與OB、OB與OC所成的角分別是、2，則（注：在上述題設(shè)條件中，把平面α內(nèi)的OC換成平面α內(nèi)不經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的任意一條直線，則上述結(jié)論同樣成立）D1B在平面ABCD內(nèi)射影是BD，AC看作是底面ABCD內(nèi)不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的一條直線，BD與AC所成的角為∠AOD，D1B與BD所成角為∠D1BD，設(shè)D1B與AC所成角為?？傊惷嬷本€所成的角是立體幾何中的重要概念，也是我們學(xué)習(xí)的第一個(gè)空間角，它的求法體現(xiàn)了立體幾何將空間圖形問(wèn)題化歸為平面圖形問(wèn)題的基本思想。－∠DB1C1∵∠DB1C1= ∴〈，〉=－∠DB1C1=－=7 ∴ =，解法八：如圖⑧，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（3，3，0），B1（3，3，4），D（0，0，0），C1（3，0，4）。解法六：如圖⑥，以四邊形ABCD為上底補(bǔ)接一個(gè)高為4的長(zhǎng)方體ABCDA2B2C2D2，連結(jié)D2B，則DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成的角，連C1D2，則△C1D2C2為Rt△，∠C1BD2=－，∴異面直線DB1與BC1所成的角是。C1E=3，∠C1BE=，∴∠C1BE=。則∠DB1E就是異面直線DB1與BC1所成角，連結(jié)DE交AB于M，DE=2DM=3，∠DB1E= ∴∠DB1E=。在△ADF中DF=，∠DOF=，∴∠DOF=。解法三：如圖③，連結(jié)D1B交DB1于O，連結(jié)D1A，則四邊形ABC1D1為平行四邊形。連結(jié)EB，由已知有B1D=，BC1=5，BE=，∴∠BOE= ∴∠BOE=解法二：如圖②，連DB、AC交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作OE∥DB1，過(guò)E點(diǎn)作EF∥C1B，則∠OEF或其補(bǔ)角就是兩異面直線所成的角，過(guò)O點(diǎn)作OM∥DC，連結(jié)MF、OF。分析：構(gòu)造三角形找中位線，然后利用中位線的性質(zhì)，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，解三角形求之。方法總結(jié)：直接平移法、中位線平移、補(bǔ)形平移法、向量法典型例題 長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求異面直線B1D與BC1所成角的大小?！把a(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過(guò)補(bǔ)形，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來(lái)處理，利用“補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。＜≤90176。②求相交直線所成的角，通常是在相應(yīng)的三角形中進(jìn)行計(jì)算?！纠}解析】考點(diǎn)1 點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.典型例題（福建卷）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大?。唬á螅┣簏c(diǎn)到平面的距離．考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力． 解：解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．為正三角形，．正三棱柱中，平面平面， G平面．連結(jié)，在正方形中，分別為的中點(diǎn)， ， ．在正方形中， 平面．（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．， 為二面角的平面角．在中，由等面積法可求得，又， ．所以二面角的大小為．（Ⅲ）中，．在正三棱柱中，到平面的距離為．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．由，得，．點(diǎn)到平面的距離為．解法二：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．為正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，．，．平面．（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．x，． ，令得為平面的一個(gè)法向量．由（Ⅰ）知平面，為平面的法向量．，．二面角的大小為．（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，．點(diǎn)到平面的距離．小結(jié)：本例（Ⅲ），把不易直接求的B點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點(diǎn)K到平面的距離的計(jì)算方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法；解法一采用了等體積法，這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡(jiǎn)單些，因此可優(yōu)先考慮使用這種方法.考點(diǎn)2 異面直線的距離考查異目主面直線的
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