【正文】 方程求解 。也可用功率方程、動量定理或動量矩定理求解。若作用在質(zhì)點系上的非有勢力作功，則用動能定理求解。若質(zhì)點系所受外力對某固定軸的矩的代數(shù)和為零，則可用對該軸動量矩守恒定律求解。 普遍定理綜合應用 (3) 如果問題是要求速度或角速度，則要視已知條件而定。 (2 )已知主動力求質(zhì)點系的運動用動能定理，已知質(zhì)點系的運動求約束反力用動量定理或質(zhì)心運動定理或動量矩定理。 普遍定理綜合應用 動力學普遍定理綜合應用有兩方面含義：其一 ，對一個問題可用不同的定理求解；其二 ， 對一個問題需用幾個定理才能求解 。 動量定理和動量矩定理是矢量形式 ， 因質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動量和動量矩 ， 應用時只需考慮質(zhì)點系所受的外力；動能定理是標量形式 ， 在很多問題中約束反力不作功 ， 因而應用它分析系統(tǒng)速度變化是比較方便的 。 解：以系統(tǒng)為研究對象 ， 則運動初瞬時的動能為 01 ?T 當桿運動到鉛垂位置時 ， 其速度瞬心為桿端 B， 設此時桿的角速度為 ?， 則系統(tǒng)的動能為 2 2 222 2 21 1 1()2 2 311( 10 0. 6 ) 0. 6 N m23PT J m l??????? ? ? ? ??30B A C mg 30 cm 在系統(tǒng)運動過程中 ， 只有重力和彈力作功 ， 所以在系統(tǒng)運動過程中所有的力所作的功為 2212 1 2221( c os 30 ) ( )2 2 2 3 110 ( ) 360( )2 2 2 2 N mllW m g k dd? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???1212 WTT ???由 得 2 ??所以 1 . 4 61 . 5 6 r a d s0 . 6? ???30B A C mg 30 cm 前面分別介紹了動力學普遍定理 (動量定理 、 動量矩定理和動能定理 ) ， 它們從不同角度研究了質(zhì)點或質(zhì)點系的運動量 (動量 、 動量矩 、 動能 )的變化與力的作用量 (沖量 、 力矩 、 功等 )的關系 。在圖示位置 ， 系統(tǒng)靜止 ， 彈簧的伸長為 20 cm。 2012AT m v?D A B 2v0 C v0 2 2 200211( ) ( )22CC CvT M r M vr??22001 ( 2 ) 22BT m v m v??2107 1 04A B C DMmT T T T T v?? ? ? ? ?2 2 2 20001 1 1 3( ) ( )2 2 2 4DD DvT M v M r M vr? ? ? 系統(tǒng)受力如圖所示 ， 設重物 A下降 h高度時 ， 其速度增大一倍 。 重物 B與水平面間的動摩擦系數(shù)為 f 39。 如果重物 A開始時向下的速度為 v0，試問重物 A下落多大距離 ， 其速度增大一倍 。 A ? C B O D vA vD vB F ?BC ?AB 解： AB桿作平面運動 ， BC桿作定軸轉(zhuǎn)動 ， 找出 AB桿的速度瞬心在 O點 ， 由幾何關系知 OB＝ BC＝ l， 因此由 B A B B Cv O B B C??? ? ? ?得 AB BC? ? ???同時還可以得出結論 ， 當 θ＝ 0186。時彈簧不伸長 ， 一力 F＝ 10 N作用在 AB的 A點 ， 該系統(tǒng)由靜止釋放 ， 試求 ? ＝ 0186。 Ⅰ Ⅱ M1 M2 解：取系統(tǒng)為研究對象 2222112121210?? JJTT???21121221jj?? ???RRi由運動學可知： 21212212 )(21 ?iJJT ??主動力的功： 11221221112 )( jjj iMMMMW ????由動能定理得： 112212121221 )(0)(21 j?iMMiJJ ????將上式對時間求導，并注意 1111 , ?ja? ??dtddtd解得： )()( 2122112211 iJJiMM ???aⅠ Ⅱ M1 M2 例 11 兩根完全相同的均質(zhì)細桿 AB和 BC用鉸鏈 B連接在一起 ， 而桿 BC則用鉸鏈 C連接在 C點上 ， 每根桿重 P＝ 10 N， 長 l＝ 1 m， 一彈簧常數(shù) k＝ 120 N/m的彈簧連接在兩桿的中心 ， 如圖所示 。 系統(tǒng)此時的動能為 2222 2 2 2 2 211221 1 1 1 1( ) ( )2 3 2 3 3OBT I Im l m l m l??? ? ???? ? ?O a A F B ? vA vB 系統(tǒng)受力如圖所示 ， 在運動過程中所有的力所作的功為 12 2( si n ) si n2( ) si nlW m g Flm g F laaa? ? ???221 0 ( ) sin3 m l m g F l?a? ? ?解得 3 ( ) s inm g Flma? ??O a A F B mg mg FS FN m1g FOx FOy 1212 WTT ???由 得 例 10 已知： J1 ， J2 ， R1 ， R2 ， i12 = R2 / R1 M1 ， M2 。 設連桿長均為 l， 質(zhì)量均為 m， 均質(zhì)圓盤質(zhì)量為 m1， 且作純滾動 。系統(tǒng)在運動過程中所有力所作的功為 sgmRsMW ???? as i n2112系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動能分別為 01 ?T 2 2 22 1 1 2 21 1 12 2 2CCT I m v I??? ? ?a FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 其中 21 1 1I m R? 22212CI m R?11 RvC??22 RvC??于是 )32(4 2122 mmvT C ??由 1212 WTT ???得 sgmRsMmmv C ????? as i n0)32(4 21212解之得 )32()s i n(221112mmRsgRmMvC ??? aa FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 例 9 在對稱連桿的 A點 ， 作用一鉛垂方向的常力 F， 開始時系統(tǒng)靜止 ， 如圖 。系統(tǒng)從靜止開始運動，求圓柱中心 C經(jīng)過路程 S 時的速度。已知鼓輪的半徑為 R1，質(zhì)量為 m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為 R2，質(zhì)量為 m2，質(zhì)量均勻分布。 j C FN mg vC ? F 解：取系統(tǒng)為研究對象，假設圓盤中心向下產(chǎn)生位移 s時速度達到 vc。 bbl?解得 lblgv )( 222??解 :鏈條在初始及終了兩狀態(tài)的動能分別為 01 ?T222 21 lvT ?? 在運動過程中所有的力所作的功為 )(21)(21)()( 2212 blgblblgblgbW ??????? ???由 1212 WTT ???例 7 已知： m ， R, f ， j 。 初始鏈條靜止 ， 在自重的作用下運動 。 ? 變形元件的內(nèi)力 (氣缸內(nèi)氣體壓力 、 彈簧力等 )作功；剛體所有內(nèi)力作功的和等于零 。 ? 滑動摩擦力作負功 。 ? 光滑鉸支座和固定端約束 ， 其約束力也不作功 。 對上式積分 ， 得 1212 WTT ??? 質(zhì)點系在某一運動過程中 ， 起點和終點的動能的改變量 ， 等于作用于質(zhì)點系的全部力在這一過程中所作的功之和 。 動能定理 21d( ) δ2 m v W?2. 質(zhì)點系的動能定理 設質(zhì)點系由 n個質(zhì)點組成 ， 第 i個質(zhì)點的質(zhì)量為 mi，速度為 vi， 根據(jù)質(zhì)點的動能定理的微分形式 ， 有 21d ( ) δ2 i i im v W?式中 dWi表示作用在第 i個質(zhì)點上所有力所作的元功之和 。 由余弦定理 2 2 222 11222 2 2142 c os( 18 0 )( ) 2 c os