【正文】 ，3，…，8，將它們分為兩個(gè)子集，元素較少的一個(gè)子集共有 種情況，每種情況對應(yīng)著圓周上62107??C使 S 值達(dá)到最小的唯一排法，即有利事件總數(shù)是 26種，故所求概率 ……20 !86?P15．過拋物線 上的一點(diǎn) A（1，1）作拋物線的切線，分別交 x 軸于 D，交 y 軸于2xyB，點(diǎn) C 在拋物線上，點(diǎn) E 在線段 AC 上，滿足 ；點(diǎn) F 在線段 BC 上，滿1??ECA足 ， 且 =1，線段 CD 與 EF 交于點(diǎn) C 在拋物線上移動時(shí)，2??F21?求點(diǎn) P 的拋跡方程.解一：過拋物線上點(diǎn) A 的切線斜率為 切線 A B 的方程???,2|1xy、D 的坐標(biāo)為 B（0，－1） ，D（ ，0） ，∴ D 是線段 AB 的中點(diǎn).…5 分xy???,12設(shè) P（ 、C ） 、E（ 、)y20,(x),yF（ ，則由 知，,2x1??A河大附中校本課程 20 。6AD+BC+ ，則 CD= .32?AC解： ，61)45sin1( ????? DABCVBD?即 又 ，??AC323??32??AD=BC= 時(shí)成立，這時(shí) AB=1，AD⊥ 面 ABC，∴DC= .1?11．若正方形 ABCD 的一條邊在直線 上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線 ??xy 2xy?則該正方形面積的最小值為 80 .解：設(shè)正方形的邊 AB 在直線 上，而位于拋物線上的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) C（高中數(shù)學(xué)競賽講義 17 ） 、D（ ） ，則 CD 所在直線 l 的方程 ，將直線 l 的方程與拋物線1,yx2,yx bxy??2方程聯(lián)立，得 .12,1?????bxb令正方形邊長為 a，則 ).1(20)(5)()( 122 ????bxy①在 上任取一點(diǎn)（6，－5） ，它到直線 的距離為 172??xy b??5|7|,a②①、② 聯(lián)立解得 ., 2min221 ????ab或12．如果自然數(shù) a 的各位數(shù)字之和等于 7，那么稱 a 為“吉祥數(shù)”，將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列 .5,321 ?mma則若? 解：∵方程 的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 而使xxk??? ,1kC??）的整數(shù)解個(gè)數(shù)為 現(xiàn)取 m=7，可知，k 位“吉祥數(shù)”的個(gè)數(shù)為(0,1?ixi ,12??mkCP（k）= .65?kC∵2022 是形如 2abc 的數(shù)中最小的一個(gè)“吉祥數(shù)”，且 P（1）= =1，P（2）6C= =7，67P（3）= =28，對于四位“吉祥數(shù)”1abc，其個(gè)數(shù)為滿足 a+b+c=6 的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)，8C即 =28 ?∵2022 是第 1+7+28+28+1=65 個(gè)“吉祥數(shù)”，即 從而 n=65，5n=325..2056?a又 P（4）= ，而210)5(,84669??)(51??kP∴從大到小最后六個(gè)五位“吉祥數(shù)”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52022.∴第 325 個(gè)“吉祥數(shù)” 是 52022，即 .520ma河大附中校本課程 18 三、解答題（本題滿分 60 分，每小題 20 分）13．?dāng)?shù)列{ 滿足：}na .,236457,10 Nnaann ?????證明：（1）對任意 為正整數(shù)；（2）對任意 為完全平方mN,?1,??na數(shù).證明：（1）由題設(shè)得 且{ 嚴(yán)格單調(diào)遞增，將條件式變形得,51?a}n，3645722???mma兩邊平方整理得 ①0972121???nn ②2???nna①－②得 ??????????? 07,0)7)(( 1111 mnnnnn aaa? ③.7?由③ 式及 可知，對任意 為正整數(shù).……………………10 分5,10amN,??。?）將① 兩邊配方，得 。 BD，?AP=24．連 DF，則 DF⊥AB，∵ AE=DE，DF ⊥AB．?AF= AE=9．12∵ D、E、F、G 共圓，?∠AFG=∠ADE=∠ ABC，??AFG∽?ABC，∴ = ，?AK= = ．AKAPAFAB 9?2425 21625二．(本題滿分 50 分)在平面直角坐標(biāo)系 XOY 中，y 軸正半軸上的點(diǎn)列{A n}與曲線y= (x≥0)上的點(diǎn)列 {Bn}滿足 |OAn|=|OBn|= ，直線 AnBn在 x 軸上的截距為 an，點(diǎn) Bn的橫2x1n坐標(biāo)為 bn，n∈N*．⑴ 證明 anan+14，n∈N*；⑵ 證明有 n0∈N*，使得對?n n0，都有 + +…+ + n－2022．b2b1b3b2 bnbn－ 1bn+1bn解：⑴ 點(diǎn) An(0， )，B n(bn， )1n 2bn?由| OAn|=|OBn|，?b n2+2bn=( )2，?b n= －1( bn0)．1n∴ 0bn ．且 bn遞減，?n 2bn=n( －n)= = 單調(diào)增．12n2 n2+1∴ 0n ．?令 tn= 且 tn單調(diào)減．bn 2由截距式方程知， + =1，(1－2n 2bn=n2bn2)bnan∴ an= = = =( )2+ ( )2=tn2+ tn=(tn+ )2－ ≥( + )2－ =4．212 2 12且由于 tn單調(diào)減，知 an單調(diào)減，即 anan+14 成立．亦可由 =bn+2． = ，得 an=bn+2+ ， ．1n2bn bn+2 2bn+2∴ 由 bn遞減知 an遞減，且 an0+2+ ? =4．2 2⑵ 即證 (1－ )2022．n∑k=1 bk+1bk1－ =bk+1bk bk－ bk+1bk高中數(shù)學(xué)競賽講義 11 = =k2(( )2－( )2)1k 1k+1 ≥ ? ．2k+1(k+1)2 2k+1(k+1)212 1k+2∴ (1－ ) ( + )+( + + + )+…+ + + +…．n∑k=1 bk+1bkn∑k=1 1k+2 1314 15161718 121212只要 n 足夠大，就有 (1－ )2022 成立．n∑k=1 bk+1bk三．(本題滿分 50 分)對于整數(shù) n≥4，求出最小的整數(shù) f(n)，使得對于任何正整數(shù)m，集合{m，m+1 ，…，m+n － 1}的任一個(gè) f(n)元子集中，均至少有 3 個(gè)兩兩互素的元素．解：⑴ 當(dāng) n≥4 時(shí)，對集合 M(m，n) ={m，m+1，…，m+n － 1}，當(dāng) m 為奇數(shù)時(shí)，m，m+1，m+2 互質(zhì)，當(dāng) m 為偶數(shù)時(shí)，m+1，m +2，m +3 互質(zhì)．即M 的子集 M 中存在 3 個(gè)兩兩互質(zhì)的元素，故 f(n)存在且 f(n)≤n． ①取集合 Tn={t|2|t 或 3|t，t≤n+1} ，則 T 為 M(2，n) ={2，3，…，n+1}的一個(gè)子集，且其中任 3 個(gè)數(shù)無不能兩兩互質(zhì)．故 f(n)≥card(T)+1．但 card(T)=[ ]+[ ]－[ ]．故 f(n)≥[ ]+[ ]－[ ]+1． ②n+12 n+13 n+16 n+12 n+13 n+16由①與 ②得， f(4)=4，f(5)=5 ．5≤f(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f (8)≤8，8≤f(9)≤9．現(xiàn)計(jì)算 f(6)，取 M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意 5 個(gè)數(shù)，當(dāng)這 5 個(gè)數(shù)中有3 個(gè)奇數(shù)時(shí)，這 3 個(gè)奇數(shù)互質(zhì)；當(dāng)這 3 個(gè)數(shù)中有 3 個(gè)偶數(shù) k，k+2，k+4(k?0( mod 2))時(shí)，其中至多有 1 個(gè)被 5 整除，必有 1 個(gè)被 3 整除，故至少有 1 個(gè)不能被 3 與 5 整除，此數(shù)與另兩個(gè)奇數(shù)兩兩互質(zhì)．故 f(6)=5．而 M(m，n+1) =M(m，n) ∪{m+n}，故 f(n+1)≤f(n)+1． ③∴ f(7)=6，f(8)=7，f(9) =8．∴ 對于 4≤n≤9，f(n)= [ ]+[ ]－[ ]+1 成立． ④n+12 n+13 n+16設(shè)對于 n≤k，④成立，當(dāng) n=k+1 時(shí)，由于M(m，k+1) =M(m，k－5) ∪{m+k－5，m +k－4，…，m+k}．在{m +k－5，m+k －4，…，m+k}中，能被 2 或 3 整除的數(shù)恰有 4 個(gè)，即使這 4 個(gè)數(shù)全部取出，只要在前面的 M(m，k －5) 中取出 f(n)個(gè)數(shù)就必有 3 個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)．于是當(dāng) n≥4 時(shí)，f( n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)－1．故 f(k+1)≤f(k－ 5)+f(6)－1=[ ]+[ ]－[ ]+1，k+22 k+23 k+26比較② ，知對于 n=k+1，命題成立．∴對于任意 n∈N*，n≥4，f(n)= [ ]+[ ]－[ ]+1 成立．n+12 n+13 n+16河大附中校本課程 12 又可分段寫出結(jié)果：f(n)= 4k+1，(n=6k， k∈N*)，4k+2，(n=6k+1，k∈N*)，4k+3，(n=6k+2，k∈N*)，4k+4，(n=6k+3，k∈N*)，4k+4，(n=6k+4，k∈N*)，4k+5，(n=6k+5，k∈N*)． 2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題（一）及參考答案一、選擇題（本題滿分 36 分，每小題 6 分）1．使關(guān)于 的不等式 有解的實(shí)數(shù) k 的最大值是（ ）xkxx???3A． B． C． D．6?3?6解：令 ，則6,??xxy)(32)()32 ??實(shí)數(shù) k 的最大值為 選 D.????,][( yxx .62．空間四點(diǎn) A、B、C、D 滿足 的取值BDACCDBA