【正文】 xCeCy 12? 如果 0?p ，那么從 py?? 中可得 Cy? ，顯然它也是原方程的解，但 Cy? 已被包含 在解 xceCy 12? 中了（僅 01?C ，就得到它），所以原方程通解為 xCeCy 12? （ 3）方程不顯得 ,y 設(shè) py?? ，則 py ??? 代入方程并分離變量后，有 dxxxpdp 21 2?? 兩端積分，得 12 ln)1ln (ln Cxp ??? ，即 )1( 21 xCyp ???? 由條件 3)0( ??y ，得 31?C ，所以 15 )1(3 2xy ??? 再積分，得 23 3 Cxxy ??? 由條件 11)0( 1 ?? C，y 得 于是所求的特解為 133 ??? xxy （ 4）方程僅含 y? ，不顯含 y 與 x ，設(shè) yp ?? ，則dydppy ???，代入原方程，得 ppdydpp ?? 3 當(dāng) 0?p 時(shí)，約去 p 并分離變量，得 dypdp ??12 積分得 )t a n (,a r c t a n CyPCyP ???? 將 yp ?? 代入并分 離 變量得 dxCydy )tan( ? 積分得 2ln)s in (ln CxCy ??? 即 xeCCy 2)sin( ?? 于是原方程的通解為 )()a r c s in ( 112 CCCeCy x ???? 此題是中，若 y? 表示為 p? ，即 py ??? ，那么代入原 方程后也得到一個(gè)可分離變量方程。 例 5 求下列微分方程的通解。 （ 4）一階線性非齊次方程的通解式①可寫成下面兩項(xiàng)之和 dxexqeCey dxxpdxxpdxxp ? ????? ?? )()()( )( 上式右端第一項(xiàng)是對應(yīng)的齊次線性方程的通解，第二項(xiàng)是非齊次方程的一個(gè)特解（在通解式①中取 0?C 便得到這個(gè)特解）。 （ 3）一階線性微分方程是一階微分方程中比較基本而又重要的類型之一， 它可 以用公式 ])([ )()( ? ???? ? Cdxexqey dxxpdxxp ① 求通解，也可以用常數(shù)變易法求通解，用公式法求通解時(shí)，要注意先把方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式 )()( xqyxpy ??? ② 這親才能準(zhǔn)確地確定出 )()( xqxp 、 。有些方程則需作適當(dāng)代換，化成上述兩種類型。 )1(,1ln1 ??? yyxyydydx 這里 ,1)(,ln1)( yyqyyyp ??于是通解為 ]1[ ln1ln1 ? ???? ? Cdyeyex dyyydyyy ]1[ lnlnlnln ? ?? ? Cdyeye yy ]ln[ln1 Cdyyyy ?? ? )ln21(ln1 2 Cyy ?? yCy lnln21 ??（ C 為任意常數(shù)） （ 5）該方程是一階非線性方程，是可分離變量 型 方程，原方程變形為 0)1( ???? ? yx eey ,1 dxee dy xy ??? dxeedye xyy ??1 積分得 Cee xy ???? )1ln ( ， xey Cee ???1 13 故通解為 )1ln( xeCey ??? （ C 為任意常數(shù)） 小結(jié) （ 1）從上面的例子看出，判斷方程的類型是最基本的，分清類型才能確定求解的辦法，這不僅是對一階微分方程而言的，對其它的微 分方程也是如此。 （ 4）將方程變形，得 )1(4( 22xy yxdxdy ??? ） 此為變量可分離方程。 當(dāng) 0?x 時(shí)，將各項(xiàng)除以 x ，得 0])(1[ 2 ???? dydxxyxy 令 xyu? ，則 uxy? xduudxdy ?? 代入齊次方程中，得 0)()1( 2 ????? x d uudxdxuu xdxudu ?? 21 兩端積分，得 Cxuu ln1ln 2 ??? Cxuu ??? 21 將 xyu? 代回，得 222 Cxyxy ??? 將初始條件 0)1( ?y 代入，得 1,01 ??? CC 。 解 （ 1） 將方程變形，得 0)1()1( ???? dyeedxee xyyx 這是變量可分離型方程，分離變量得 dxe edye e x xy y 11 ???? 1 )1(1 )1( ?????? x xy y eedeed 兩端積分得： 1)1ln ()1ln ( Cee xy ???? 整理后得方程的通解為 （ 2）觀察方程中 dx 、 dy 的系數(shù)，都是二次函數(shù)，故原方程為齊次方程。 8 （ 4）設(shè) ,xyu? 則 ,xduudxdy ?? 代入原方程中，得 Cxudxxdu ln, ?? ，故所求通解為 Cxxy ln? 例 3 判斷下列微分方程屬于哪種類型，并求出它們的通解或特解。 （ 2）對 xey?? 兩次積分，得 211 , CxCeyCey xx ?????? ，此為所求通解。 （ 4）齊次方程 1??? xyy 的通解是 。 （ 2）二階微分方程 xey?? 的通解是 。 0???? yy 的特征根為 i??? ，是共軛復(fù)根，通解為三角函數(shù)形式 xCxCy sinco s 21 ?? ，故選項(xiàng) C 正確。 （ 4）二階常系數(shù)線性非齊次微分 方程的特解形式與右端項(xiàng)的形式密切相關(guān)，此方程中右端項(xiàng) xexf x cos)( ?? ，因此特解 ?y 應(yīng)設(shè)為 ),s inc o s( 21 xCxCexy xk ?? ?? 其中 k 由?ia? 不是特征方程的根，是單根或是重根而分別設(shè)為 0， 1， 2 此題中 iaa ?? ???? ,1,1不是特征根，因此特解應(yīng)設(shè)為 ),s inc o s( 21 xCxCey x ?? ?? 故正確的選項(xiàng)為 B。 （ 3）將方程進(jìn)行變量分離，可知 A 為 )1( ?? xtdtdx 是可分離變量方程。 （ 2）微分方程的通解是指 所含獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階相等的解 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 。 其 求特征方程是 01222 234 ????? ???? 6 分解因式為 _0)1()1( 22 ??? ?? 特征根為 i???? 4,321 ,1 ??? 因?yàn)?1?? 是二重根，所以通解中含加項(xiàng) xexCC )( 21 ? ；因?yàn)?i??4,3? 是一對共軛復(fù)根，所以通解中含加項(xiàng) ,sin_co s 43 xCxC ? 從而得到原方程的通解為 xCxCxeCeCy xx s i nc o s 4321 ???? 二、 例題分析 例 1 為下列各題選擇正確答案： （ 1）下列微分方程中，是二階線性微分方程的為（ ） A． xyyy ?????? 2)( B． xyy cos2)( 2 ??? C． yyy 2???? D． xyxyyx 2ln35 2 ?????? （ 2）下列微分方程中，（ ）所 給的函數(shù)是通解。 （五）關(guān)于特征根法 特征根法不僅可用 于二階線性常系數(shù)齊次微分方程通解，也可用于 求 高階線性常系數(shù)齊次微分方程通 解 ，即 （ 1）若 ? 是單實(shí)根，則通解中含加 xeC?1 （ 2）若 ? 是 m 重實(shí)根，則通解中含加項(xiàng)（ xmm exCxCC ?)121 ???? ? （ 3）若 ?? ia?? 是共軛復(fù)根，則有通解中含加項(xiàng) )s inc o s( 21 xCxce ax ?? ? 根據(jù)上述這些加項(xiàng)， 就可寫出方程的通解形式。 表 82 非齊 次項(xiàng) )(xf 的形式 特征方程的根 特解 ?y 的形 式 )(xf 是 n 次多項(xiàng)式 0 不是特征根（即 0?q 時(shí)） 0 是特征方程的單根（即 0?q 時(shí) 0 是特征重根，（即 0??qp 時(shí)） )(),( xxy ???? 是與 )(xf 同次的多項(xiàng)式 )(xxy ??? )(2 xxy ??? )()( xPexf max? 即 )(xf 是指數(shù)函數(shù) 與多項(xiàng)式乘積 a 不是特征根 a 是單特征根 a 是重特征根 xm exQy ?)(?? )(xQm 是與 )(xPm 同次的多項(xiàng)式 xm exxQy )(?? xm exQxy ?)(2?? xxPxf n ?cos)()( ? xxQm ?sin)(? ?i? 不是特征根 ?i? 是特征根 xxBxxAy ll ?? s in)(c o s)( ??? ? ?nml ,max? ? ?xxBxxAxy ll ?? s in)(c o s)( ??? )()( xBxA ll 、 都是 l 次多項(xiàng)式 xxpexf nax ?cos)([)( ? ]sin)( xxQm ?? ?ia? 不是特征根 ?ia? 是特征根 ? ?xxBxxAey llax ?? s in)(c o s)( ??? ? ?xxBxxAxey llax ?? s in)(c o s)( ??? 從表 82 可以看出，特解 ?y 的設(shè)法與非齊次項(xiàng) )(xf 的形式基本是相同的，只不過依 a不是特征根、是單根、是重根時(shí)，依次再分別乘以一個(gè) kx 因子（ 2,1,0?k ）。 一般說來，求特解 ?y 并不是件容易的事情，但當(dāng)右端 項(xiàng) )(xf 為某些特殊形式函數(shù)時(shí)， 5 特解 ?y 具有相應(yīng)的特殊形式，如表 82 所示。 ),( yxfy ???? 設(shè) py?? ，則 py ??? ，方程化為 ),( pxfp ?? ),( yyfy ???? 設(shè) ,py?? 則dydppy??，