【正文】 xdx x xdxx xdxxxxxxxxdx? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ???, (2) 1111 00, ln , ( ) ( ) ( )44x A x d x x f x d x f?? ? ? ??? (3) Gauss 型求積公式的截斷誤差為 ( 2 ) ( 2 )112200( 2 ) ( 2 )12 ( 2 )0( ) 1 ( ) 1( ) ( ln ) ( ) ( ln ) ( )2 ! 4 2 ! 4( ) 1 1 ( ) 1 1 1 7( ln ln ln ) ( ) ( )2 ! 2 1 6 2 ! 9 8 1 6 2 8 8ffR f x x d x x x d xffx x x x x d x f???? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? 六、 (10分 ) 1( ) 0 .0 5 , 39。 27 數(shù)值分析答案 一、 填空題 (每空 2分，共 20分 ) 1. 3 . 2. 9 ? 3. 0 1 5[ , , , ] 0f x x x ? 和 4 0( ) 3fx?? 4. 方法 2 5. 1 2 ( )39。 （ 2）構(gòu)造帶權(quán) ( ) lnxx? ?? 的高斯型求積公式 1110 ( ) ( ) ( )x f x d x A f x? ?? (3) 導出此高斯型求積公式的截斷誤差。 三、 (15分 ) 已知函數(shù)值表 2 1 0 120 1 2 10iixy ????? 在 函數(shù)空間 ? ?21,H span x? 中 求最佳平方逼近多項式，并估計誤差 22?。 for i=n1:1:1 x(i)=(b(i)A(i,i+1:n)* x(i+1:n))/A(i,i)。 x=zeros(n,1)。 _____ 方法 1： 19101!ne n??????????? 方法 2： 19101(9 ) !ne n?????? ?????? 5. 已知 ? 是非線性方程 f(x)=0 的二重根，試構(gòu)造至少二階收斂的迭代格式 __________________. 6．給出求解線性方程組 1 2 31 2 31 2 3889 2 688x x xx x xx x x? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ?? 的收斂的 Jacobi 迭代格式（分 量 形式） ______________________及相應的迭代矩陣 ______________________。 21 15( 1 ) ( 2, 1 , 2 ) , ( 3, 0, 0 ) , ( 5, 1 , 2 )1 25 5 10 10 5 10112 1 5 1 2 5 14 215 151 10 2 4 10 2 1133 14 10 5 10110 5 5 14 211 150 10 2 11(2T T TTTx y u x yuuHIuuH A R Q H? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?三 分 ） 法 一 ：（.01 1 1 11110 533 1411) 5 14 , ,15 11 0 510 21 / 3 263 187,17 / 15 225 75TTQ R Q R x bR x Q b x????????? ? ????????? ????? ??? ? ??? ?????? 1 1 1 1 1111111222( 1 ) ( 2, 1 , 2 ) , ( 3, 0, 0 ) , ( 1 , 1 , 2 )1 1 1 2 2 1 2112 1 1 1 2 1 2 2331 2 2 4 2 2 133 1413114( 14 / 11 , 3 / 11 , 4 / 11 ) , ( 14 / 11 , 5 / 11 , 0T T TTTTx y u x yuuHIuuH A Axy? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???????????? ???? ? ? ?法00二 ：2 2 222222121) , ( 0, 8 / 11 , 4 / 11 )1 0 0 0 5 0 0112 1 0 8 4 0 3 4551 0 4 2 0 4 310 5 10 33 14115 14 2 , 0 515 1110 2 11 0 010 51( 2 ) 5 141510 2TTTTTu x yuuHIuuQ H H R Q AQ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ????1 1 11133 141,11 0 551 263 187,15 17 225 75TTR Q R x bR x Q b x??????????????????? ??? ? ??? ??? ???? 22 333331 3 3. 15( ) 9 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )( ) 50,( ) 3 6 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 2 )( ) 00, 4( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 194N x x x x x x xNN x x x x x x xNR f N N N? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?四 （ 分 ） 五、 (15分 ) （ 1）設 22 1 1 0 0( ) ( ) ( )x x k x k x? ? ?? ? ? 則利用 2()x? 和 01( ), ( )xx??的正交性得1 420 10 12001, ( ) 3( ) , ( ) 5x dxxxk xxx dx??? ????? ? ? ? ? ???1 52111 14111, ( ) 0( ) , ( )x dxxxkxx x dx??? ????? ? ? ? ??? 故 222033( ) ( )55x x x x??? ? ? ? （ 2） 首先做變量代換 12xt? ，將區(qū)間從 11[ , ]22? 變換到 [1， 1]，則 ( ) ( )2tf x x F t? ? ? 對 ()2tFt? ，取 20 1 2 3( ) 1 , ( ) , ( ) 5t t t t t? ? ?? ? ? ?，有 23 11320010 1122001012111 1411115322212 12 2 222112( ) , ( ) 342( ) , ( ) 8232( ) , ( )0( ) , ( )33()()525( ) , ( )( ) , ( ) 3()5tt dtt dtF t tcttt dt t dttt t dtF t tcttt dttt t dt t dtF t tcttt t dt??????????????????? ? ? ? ???????? ? ????? ? ???? ? ?????????????1016 4 2 20632 ( ( ) )5513356 201 6 3 962 ( )7 25 25tt t t dt????????? 所以 20 0 1 1 2 2 3 3 5 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 9 6 5s t c t c t c t t? ? ?? ? ? ? ? ? 故 ()f x x? 在 11[ , ]22? 上的二次最佳平方逼近多項式 235 5() 24 32s x x??。35() 63axx? ??? ， 又 * 3xa? ，則有 39。 由 Newton 迭代公式：1 39。 20 數(shù)值分析答案 三、 填空題 (每小題 3 分 ，共 15 分 ) 1. 41 102 ?? . 2. 123, 1???? 3. 4. 120 5. 233 4 610 1 ( 1 ) ( 1 )y x x x? ? ? ?? ? ? 二、（ 10分 ) 解：（ 1）因 32( ) ( )f x x a??，故 39。 六、 (15分 ) 設 1()Px是 ()fx的以 33(1 ),(1 )??為插值節(jié)點的一次插值多項式， 試由 1()Px導出求積分 20 ()I f x dx??的一個插值型求積公式，并推導此求積公式 的截斷誤差。 五、 (15分 ) （ 1）設 0 1 2{ ( ), ( ), ( )}? ? ?x x x是定義于 [1， 1]上關(guān)于權(quán)函數(shù) 2()xx? ? 的首項系數(shù)為 1 的正交多項式組，若已知 01( ) 1 , ( )x x x????，試求出 2()? 。 19 四、 (15分 ) 給出數(shù)據(jù)點： 0 1 2 3 43 9 6 1 2 1 5iixy ??? ?? （ 1）用 1 2 3 4,x x x x 構(gòu)造 三次 Newton 插值多項式 3()Nx，并計算 ? 的近似值 3()N 。 三、 (15分 )已知矛盾方程組 Ax=b， 其中2 1 11 0 , 11 0 12 11Ab??? ???? ???????????????， （ 1）用 Householder 方法求矩陣 A 的正交分解，即 A=QR。y a nfo r k ny t y a ken d?? ? ??? 二、 (10分 )設 32( ) ( )f x x a??。n=length(a) ( )。 一、 填空題 (每小題 3分，共 15分 ) 2. 已知 x= a 經(jīng)四舍五入得到的 a 的近似值，試給出 x 的絕對 誤差界 _______________. 3. 已知矩陣 1221A ???????，則 A 的奇異值為 _________. 3. 設 x 和 y 的 相對誤差均為 ，則 xy 的相對誤差約為 ____________. 4. 4 2 4( ) 5 3, , ( ) ___ __ .iif x x x x i f x? ? ? ? ?若 = 則 5. 下面 Matlab程序所描述的數(shù)學表達式為 ________________________ . a=[10,3,4,6]。 18 數(shù)值分析試題 (A) 院系： 專業(yè) ： 分數(shù)： 姓名： 學號 日期： 。當 時 此 時 迭 代 法 為 GaussSeidel 迭 代 法 ，由 于 A 是 嚴 格 對 角 占 優(yōu) 的 所 以 迭 代 法 收 斂 。 2 22239。 七、 (12分 )用 最小二乘法確定一條經(jīng)過點 (1,0)的二次曲線，使之擬合下列數(shù)據(jù)