高三數(shù)學(xué)：函數(shù)模型及其應(yīng)用-文庫(kù)吧資料
2025-01-13 13:38本頁(yè)面
【正文】 故當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為 475 件時(shí)，當(dāng)年獲得的利潤(rùn)最大． 1．很多實(shí)際問(wèn)題中變量間的關(guān)系，不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，就是分段函數(shù)． 2．分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段變量的范圍，特別是端點(diǎn)值． 2．某市居民自來(lái)水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超 過(guò) 4噸時(shí)，每噸為 ，當(dāng)用水超過(guò) 4噸時(shí)，超過(guò)部分每噸 ．某月甲、乙兩戶共交水費(fèi) y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為 5x,3x(噸 )． (1)求 y關(guān)于 x的函數(shù)； (2)若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi) ，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi)． 解： ( 1 ) 當(dāng)甲的用水量不超過(guò) 4 噸時(shí)，即 5 x ≤ 4 ，乙的用水量也不超過(guò) 4 噸， y ＝ 1 .8( 5 x ＋ 3 x ) ＝ x ； 當(dāng)甲的用水量超過(guò) 4 噸，乙的用水量不超過(guò) 4 噸，即 3 x ≤ 4 ，且 5 x 4 時(shí)， y ＝ 4 ＋ 3 x 1. 8 ＋ 3( 5 x － 4) ＝ x － . 當(dāng)乙的用水量超過(guò) 4 噸，即 3 x 4 時(shí)， y ＝ 2 4 ＋ 3 [(3 x － 4) ＋ (5 x － 4 ) ] ＝ 24 x － . 所以 y ＝??????? x ， 0 ≤ x ≤45， x － ，45 x ≤43，24 x － ， x 43. (2) 由于 y ＝ f ( x ) 在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增， 當(dāng) x ∈??????0 ，45時(shí)， y ≤ f??????45 ； 當(dāng) x ∈??????45，43時(shí)， y ≤ f??????43 ； 當(dāng) x ∈??????43，＋ ∞ 時(shí)，令 24 x － ＝ ， 解得 x ＝ . 所以甲戶用水量為 5 x ＝ 5 ＝ 噸， 付費(fèi) S1＝ 4 ＋ 3 ＝ ( 元 ) ； 乙戶用水量為 3 x ＝ 噸， 付費(fèi) S2＝ 4 ＋ 3 ＝ ( 元 ) ． 指數(shù)函數(shù)模型 [ 例 3] ( 2022 1．三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖像與性質(zhì) 函數(shù) y＝ ax(a1) y＝ logax(a1) y＝ xn(n0) 在 (0，＋ ∞ )上的增減性 增長(zhǎng)速度 相對(duì)平穩(wěn) 圖像的變化 隨 x增大逐漸表現(xiàn)為與 平行 隨 x增大逐漸表現(xiàn)為與 平行 隨 n值變化而不同 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 越來(lái)越快 越來(lái)越慢 y軸 x軸 2． 三種增長(zhǎng)型函數(shù)之間增長(zhǎng)速度的比較 (1)指數(shù)函數(shù) y＝ ax(a1)與冪函數(shù) y＝ xn(n0) 在區(qū)間 (0， ＋ ∞)， 無(wú)論 n比 a大多少 ， 盡管在 x的一定范圍內(nèi) ax會(huì)小于 xn， 但由于 ax的增長(zhǎng) xn的增長(zhǎng) ， 因而總存在一個(gè) x0， 當(dāng) xx0時(shí)有 . 快于 axxn (2)對(duì)數(shù)函數(shù) y＝ logax(a1)與冪函數(shù) y＝ xn(n0) 對(duì)數(shù)函數(shù) y＝ logax(a1)的增長(zhǎng)速度 ， 不論 a與 n值的大小如何總會(huì) y＝ xn的增長(zhǎng)速度 ， 因而在定義域內(nèi)總存在一個(gè)實(shí)數(shù) x0， 使 xx0時(shí)有 . 由 (1)(2)可以看出三種增長(zhǎng)型的函數(shù)盡管均為增函數(shù) ，但它們的增長(zhǎng)速度不同 ， 且不在同一個(gè)檔次上 ， 因此在(0， ＋ ∞)上 ， 總會(huì)存在一個(gè) x0， 使 xx0時(shí)有 . 慢于 logaxxn axxnlogax. 1． (教材習(xí)題改編 )f(x)＝ x2， g(x)＝ 2x， h(x)＝ log2x，當(dāng) x∈ (4，＋ ∞)時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是 ( ) A． f(x)g(x)h(x) B． g(x)f(x)h(x) C． g(x)h(x)f(x) D． f(x)h(x)g(x) [小題能否全取 ] 答案： B 解析：由圖象知，當(dāng) x∈ (4，＋ ∞)時(shí)，增長(zhǎng)速度由大到小依次為 g(x)f(x)h(x)． 2．在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是 ( ) x y A. y ＝ 2 x B ． y ＝ log2 x C ． y ＝12 ( x2 － 1) D ． y ＝ 1c os x 解析： 通過(guò)檢驗(yàn)可知， y ＝ log 2 x 較為接近． 答案 ： B 3．一根蠟燭長(zhǎng) 20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒 5 cm，燃燒 時(shí)剩下的高度 h(cm)與燃燒時(shí)間 t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的 ( ) 解析：由題意 h＝ 20－ 5
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