函數(shù)模型及應(yīng)用(1)-文庫(kù)吧資料
2025-05-05 04:51本頁面
【正文】 問題的能力 . (1)事理關(guān) :通過閱讀 ,知道講的是什么 ,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立 獲取知識(shí)的能力 . (2)文理關(guān) :需要把實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的 符號(hào)語言 ,用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系 . (3)數(shù)理關(guān) :在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中 ,要求學(xué)生有對(duì) 數(shù)學(xué)知識(shí)的檢索能力 ,認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 ,完 成由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化 .構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型后 , 要正確解出數(shù)學(xué)問題的答案 ,需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和 較強(qiáng)的數(shù)理能力 . 一、填空題 1.(2022 青島模擬 )某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn) A、 B 兩種產(chǎn)品 ,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè) ,A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投 資成正比 ,其關(guān)系如圖 1,B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù) 平方根成正比 ,其關(guān)系如圖 2(注 :利潤(rùn)與投資單位 : 萬元 ) 圖 1 圖 2 (1)分別將 A、 B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù) 關(guān)系式 ,并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式 。 (3)為保證果農(nóng)的收益，打算在價(jià)格下跌期間積極拓 寬外銷 ,請(qǐng)你預(yù)測(cè)該水果在哪幾個(gè)月內(nèi)價(jià)格下跌 . 解題示范 解 (1)因?yàn)棰?f(x)=p ② f(x)=logqx+p。 (4)如果 20年后該城市人口總數(shù)不超過 120萬人 ,年 自然增長(zhǎng)率應(yīng)該控制在多少？ (參考數(shù)據(jù)： ≈ ， ≈ ， lg ≈,lg 2≈ 0,lg ≈, lg ≈ 9) 解 (1)1年后該城市人口總數(shù)為 y=100+100 %=100 (1+%). 2年后該城市人口總數(shù)為 y=100 (1+%)+100 (1+%) % =100 (1+%)2. 3年后該城市人口總數(shù)為 y=100 (1+%)2+100 (1+%)2 % =100 (1+%)3. x年后該城市人口總數(shù)為 y=100 (1+%)x. (2)10年后人口總數(shù)為 100 (1+%)10≈( 萬人 ). (3)設(shè) x年后該城市人口將達(dá)到 120萬人 , 即 100 (1+%)x=120, (4)由 100 (1+x%)20≤120, 得 (1+x%)20≤, 兩邊取對(duì)數(shù)得 20lg(1+x%)≤lg =, 所以 lg(1+x%)≤ = 95, 所以 1+x%≤, 得 x≤%, 即年自然增長(zhǎng)率應(yīng)該控制在 %以內(nèi) . )(.l o gl o g .. 年152022 0 01 2 0 0 1 210 1 21 ???x200790.【 例 4】 (14分 )某地區(qū)的一種特色水果上市時(shí)間能持 續(xù) 5個(gè)月，預(yù)測(cè)上市初期和后期會(huì)因供不應(yīng)求使價(jià) 格呈連續(xù)上漲態(tài)勢(shì) ,而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià) 格連續(xù)下跌 ,現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù) : ① f(x)=p (2)計(jì)算 10年以后該城市人口總數(shù) (精確到 )。 (2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為 40萬元 ,那么當(dāng)年產(chǎn)量 為多少噸時(shí) ,可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？ 解 (1)每噸平均成本為 (萬元 ). 52xxy,32480 0 0852480 0 085 ??????? xxxxxy則當(dāng)且僅當(dāng) 即 x=200時(shí)取等號(hào) . ∴ 年產(chǎn)量為 200噸時(shí) ,每噸平均成本最低為 32萬元 . (2)設(shè)年獲得總利潤(rùn)為 R(x)萬元 , 則 R(x)=40xy=40x +48x8 000 = +88x8 000 = (x220)2+1 680(0≤ x≤210). ∵ R(x)在［ 0,210］上是增函數(shù) , ∴ x=210時(shí) ,R(x)有最大值為 (210220)2+1 680=1 660. ∴ 年產(chǎn)量為 210噸時(shí) ,可獲得最大利潤(rùn) 1 660萬元 . 52x52x5151,xx 00085 ?【 例 3】 1999年 10月 12日“世界 60億人口日”，提出 了“人類對(duì)生育的選擇將決定世界未來”的主題 , 控制人口急劇增長(zhǎng)的緊迫任務(wù)擺在我們的面前 . (1)世界人口在過去 40年內(nèi)翻了一番，問每年人口 平均增長(zhǎng)率是多少？ (2)我國(guó)人口在 1998年底達(dá)到 ,若將人口平 均增長(zhǎng)率控制在 1%以內(nèi) ,我國(guó)人口在 2022年底至多 有多少億？ 以下數(shù)據(jù)供計(jì)算時(shí)使用 : 增長(zhǎng)率問題是指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)問題 ,利用已 知條件 ,列出函數(shù)模型 . 解 (1)設(shè)每年人口平均增長(zhǎng)率為 x,n年前的人口數(shù)為 y, 則 y (2)年產(chǎn)量是多少時(shí) ,工廠所得利潤(rùn)最大？ 對(duì)于一些較復(fù)雜的應(yīng)用題 ,有時(shí)僅構(gòu)造一個(gè) 數(shù)學(xué)模型還不能解決根本問題，須先后或同時(shí)構(gòu) 造、利用幾個(gè)數(shù)學(xué)模型才可 . 252xxxR ??)(分析 解 (1)當(dāng) x≤5 時(shí) ,產(chǎn)品能售出 x百臺(tái) 。 當(dāng) x500時(shí) ,fA(x)fB(x)。 (2)設(shè)公司獲得的毛利潤(rùn) (毛利潤(rùn) =銷售總價(jià) 成本總 價(jià) )為 S元 .試用銷售單價(jià) x表示利潤(rùn) S,并求銷售單價(jià) 定為多少時(shí)，該公司可獲得最大毛利潤(rùn)？最大毛利 潤(rùn)是多少？此時(shí)的銷售量是多少？ 解 (1)由圖象知 ,當(dāng) x=600時(shí) ,y=400。 p%+180 p%萬元 , 年廣告費(fèi)超出年銷售收入 2%的部分為 2001 000 2%=180(萬元 ), 納稅 180 (2)建立確定性的函數(shù)模型解決問題 。 要點(diǎn)梳理 y=ax (a1) y=logax (a1) y=xn (n0) 在 (0,+∞) 上的增減性 ________ _______ ________ 增長(zhǎng)速度 ________ ________ 相對(duì)平穩(wěn) 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 越來越快 越來越慢函 數(shù) 性 質(zhì) 167。 函數(shù)模型及應(yīng)用 基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí) (1)指數(shù)函數(shù) y=ax (a1)與冪函數(shù) y=xn (n0) 在區(qū)間 (0,+∞) 上 ,無論 n比 a大多少 ,盡管在 x的一定 范圍內(nèi) ax會(huì)小于 xn，但由于
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