【正文】 問題的解 . 這些步驟用框圖表示： 2．解決函數(shù)應(yīng)用問題應(yīng)著重培養(yǎng)下面一些能力： 實(shí)際問題 函數(shù)模型 實(shí)際問題的解 函數(shù)模型的解 抽象概括 還原說明 運(yùn)用函數(shù)性質(zhì) 第 19 頁 共 30 頁 （ 1）閱讀理解、整理數(shù)據(jù)的能力：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等； （ 2）建立函數(shù)模型的能力：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問題的目標(biāo)表示為這個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記考察函數(shù)的定義域； （ 3）求解函數(shù)模型的能力：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大 （?。┲担?jì)算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用。 預(yù)測(cè) 20xx 年的高考，將再現(xiàn)其獨(dú)特的考察作用，而函數(shù)類應(yīng)用題，是考察的重點(diǎn)，因而要認(rèn)真準(zhǔn)備應(yīng)用題型、探索型和綜合題型，加大訓(xùn)練力度，重視關(guān)于函數(shù)的數(shù)學(xué)建模問題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)和方法尋求規(guī)律找出解題策略。高考中重視對(duì)環(huán)境保護(hù)及數(shù)學(xué)課外的的綜合性應(yīng)用題等的考察。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 第 18 頁 共 30 頁 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 7） — 函數(shù)模型及其應(yīng)用 一．課標(biāo)要求： 1． 利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義 ； 2． 收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問題，可以化難為易，形象直觀。 （ 1）二次函數(shù)的一般式 cbxaxy ??? 2 )0( ? 中有三個(gè)參數(shù) cba , . 解題的關(guān)鍵在于：通過三個(gè)獨(dú)立條件“確定”這三個(gè)參數(shù)。 2． 學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征 . 從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力 反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法 . 本文將從這兩個(gè)方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題。 點(diǎn)評(píng)： 緊扣二次函數(shù)的頂點(diǎn)式 ,44222a bacabxay ???????? ??對(duì)稱軸、最值、判別式顯合力。 問題轉(zhuǎn)化為： 7221444 ?????? tata a對(duì) 0?t 恒成立 . 即 ? ? 014744 2 ????? atta a對(duì) 0?t 恒成立 . （ *） 故必有 044 ??aa. （否則，若 044 ??aa，則關(guān)于 t 的 二 次 函 數(shù)? ?14744)( 2 ????? atta atu 開口向下，當(dāng) t 充分大時(shí)，必有 ?? 0?tu ；而當(dāng) 044 ??aa時(shí)， 顯然不能保證（ *）成立 .），此時(shí)，由于二次函數(shù) ? ?14744)( 2 ????? atta atu的對(duì)稱軸 0847 ???aat，所以，問題等價(jià)于 0??t ，即? ????????????????0144447044aa aaa， 解之得： 221 ??a 。222 22 ?? ??? xx axh （ 3） 22 )14(2411)()(1)( ????????? ???? xx aaxhxfaxF。 解析： (1) ? ? ? ? 。 例 16． 已知函數(shù)xz axf 22)( ??。 因此，原不等式的解集為 11,2???????。 解析： (Ⅰ )設(shè)函數(shù) ? ?y f x? 的圖象上任意一點(diǎn) ? ?00,Q x y關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為? ?,Pxy ，則00000, ,2.0,2xxxxy y y y?? ????????? ? ??? ???即 ∵點(diǎn) ? ?00,Q x y 在函數(shù) ? ?y f x? 的圖象上 ∴ ? ?2 2 22 2 , 2y x x y x x g x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即 故 (Ⅱ )由 ? ? ? ? 21 2 1 0g x f x x x x? ? ? ? ? ?， 可 得 當(dāng) 1x? 時(shí)， 22 1 0xx? ? ? ，此時(shí)不等式無解。 題型 8：二次函數(shù)的綜合問題 例 15．（ 20xx 浙江文 20 ） 已知函數(shù) ??fx 和 ??gx 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且? ? 2 2f x x x??。 當(dāng)21?a時(shí)， f(x)最小值為43?a。 綜上，當(dāng)21??a時(shí)， f(x)最小值為 a?43。 若21??a，則 f(x)在 [a,+∞ ]上單調(diào)遞增。 點(diǎn)評(píng)：本題雖小，但一定要細(xì)致觀察圖象，注意細(xì)微之處，獲得解題靈感。 題型 7：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 例 13．（ 1996 上海，文、理 8）在下列圖象中，二次函數(shù) y=ax2+bx 與指數(shù)函數(shù) y=（ ab ）x的圖 象只可能是（ ） 解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出 0ab y=a（ x+ ab2 ） 2－224ab ，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－ ab2 ，－ ab42 ），又由 0ab 1，可得－ 21 － ab2 ，可選A。 點(diǎn)評(píng)： 研究 )(xf 的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個(gè)意義上說，應(yīng)該盡量用已知條件來表達(dá)參數(shù) cba , . 確定三個(gè)參數(shù)，只需三個(gè)獨(dú)立條件，本題可以考慮 )1(f ，)1(?f ， )0(f ，這樣做的好處有兩個(gè)：一是 cba , 的表達(dá)較為簡潔，二是由于 01和? 正好是所給條件的區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn)，這樣做能夠較好地利用條件來達(dá)到控制二次函數(shù)范圍的目的。 （ 1）若 ? ?2,22 ??? ab，則 ??xf 在 ? ?2,2? 上單調(diào)，故當(dāng) ? ?2,2??x 時(shí)， ))2(,)2(m a x ()( m a x ffxf ?? ∴ 此時(shí)問題獲證 . （ 2）若 ? ?2,22 ??? ab，則當(dāng) ? ?2,2??x 時(shí)， )2,)2(,)2(m a x()( m a x ?????? ??? abfffxf 又? ? 724 11214 )1()1(202242 2 ?????????????????????? ? ffabfbabcabcabf， ∴ 此時(shí)問題獲證。 由 ? ? ?1 1x 時(shí)，有 ? ? ?1 1f x( ) ，可得 ,1)1( ?f ? ? ,11 ??f ? ? 10 ?f 。 點(diǎn)評(píng)：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù) ba, 的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用 ? ? ? ? ? ?1,1,0 ?fff 來表示 cba , 。 題型 6：一元二次函數(shù)與一元二次不等式 例 11． 設(shè) ? ? ? ?f x ax bx c a? ? ? ?2 0，若 ? ?f 0 1? ， ? ?f 1 1? ， ? ?f － 1 1? , 試證明：對(duì)于任意 ? ? ?1 1x ，有 ? ?f x ?54 。 ∴ 21 ?x ， 212 ??xx 等價(jià)于????????????1)1(1220221baxx 或?????????????1)1(1202212baxx , 即 ?????????????1)1(120)0(0)2(2bagg或??????????????1)1(120)0(0)2(2bagg 解之得 41?b或47?b。 （ 1）由 0?a 及 42 21 ??? xx ，可得 ??? ??0)4( 0)2(gg，即??? ??? ??? 03416 0124 ba ba， 第 10 頁 共 30 頁 即????????????????,043224,043233aabaab 兩式相加得 12 ?ab，所以， 10 ??x ； （ 2）由aabxx 4)1()( 2221 ????, 可得 1)1(12 2 ???? ba 。 點(diǎn)評(píng)：在已知方程 ? ?f x x? ?0 兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù) ? ? xxf ? 的表達(dá)式，從而得到函數(shù) )(xf 的表達(dá)式。 證明：由題意可知 ))(()( 21 xxxxaxxf ???? ， axxx 10 21 ?????, ∴ 0))(( 21 ??? xxxxa , ∴ 當(dāng) ? ?x x?0 1, 時(shí)， xxf ?)( 。 點(diǎn)評(píng)： ①第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間 a( ， )b ，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通?？纱_定 一個(gè)長度為 1的區(qū)間； ②建議列表樣式如下： 零點(diǎn)所在區(qū)間 中點(diǎn)函數(shù)值 區(qū)間長度 [1， 2] )(f 0 1 [1， ] )(f 0 [， ] )(f 0 第 9 頁 共 30 頁 如此列表的優(yōu)勢(shì)：計(jì)算步數(shù)明確，區(qū)間長度小于精度時(shí)，即為計(jì)算的最后一步。 例 8．借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程 732 ?? xx 的近似解（精確到 ）。故結(jié)果是 。 第 8 頁 共 30 頁 解析：原方程即 023)62ln ( ???? xx 。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了差限的定義，以及它對(duì)精度的影響。那么所取誤差限 ? 是 （ ） A． B． C． D． 解析： 由四舍五入的原則知道，當(dāng) )4 45 ,4 44 [10 ?x 時(shí)， 精度達(dá)到 ?x 。 點(diǎn)評(píng)：該題深入解析了二分法的思想方法。 點(diǎn)評(píng)：該問題詳細(xì)介紹了零點(diǎn)存在性定理的理論基礎(chǔ)。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上。 得令 當(dāng) x∈ (－ m,1－ m)時(shí) ,f ’（ x） 0,f(x)為減函數(shù) ,f(x)f(1－ m) 當(dāng) x∈ (1－ m, +∞ )時(shí) ,f ’（ x） 0,f(x)為增函數(shù) ,f(x)f(1－ m) 根據(jù)函數(shù)極值判別方法， f(1－ m)=1－ m 為極小值，而且 對(duì) x∈ (－ m, +∞ )都有 f(x)≥ f(1－ m)=1－ m 故當(dāng)整數(shù) m≤ 1 時(shí)， f(x) ≥ 1－ m≥ 0 (2)證明：由（ I）知，當(dāng)整數(shù) m1 時(shí)， f(1－ m)=1m0, 函數(shù) f(x)=x－ ln(x+m),在 ]1,[ mme m ??? 上為連續(xù)減函數(shù) . ,)1()(,10)l n()(異號(hào)與時(shí)當(dāng)整數(shù) mfmefmemmememefmmmmm???????????????? 由所給定理知，存在唯一的 0)(),1,( 11 ???? ? xfmmex m 使 而當(dāng)整數(shù) m1 時(shí)， ),1121(032 )12(2213)11(3)( 222歸納法證明上述不等式也可用數(shù)學(xué)????????????????mmmmmmmmemef mmm? 類似地，當(dāng)整數(shù) m1時(shí)，函數(shù) f(x)=xln(x+m),在 ],1[ mem m ?? ? 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1m)與 )( 2 mef