【正文】 ???令 AK=1，得到保證第 k個節(jié)點上不出現(xiàn)溢出時的最大輸入值上限 ??????mk mhx)(1|| m a x 極限環(huán)振蕩 IIR濾波器在無限精度的情況下，當(dāng)它的所有極點均位于單位圓內(nèi)時，系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的。 IIR濾波器定點加法運算的溢出問題 所有的相加運算，均可能產(chǎn)生溢出，應(yīng)避免 使每個相加點的輸入端都引入比例因子 A加以限制，使相加點的數(shù)值絕對值保持小于 1。 并聯(lián)型 )()()(2111 zAzAzzzH ????? ?? ＝1?z)(0ne )(1ne0. 9)( nx7. 2)()( nenyf?1?z)(2ne )(3ne0. 86. 4并聯(lián)型結(jié)構(gòu)需要 4個系數(shù)，因此共有四個舍入噪聲 、 通過網(wǎng)絡(luò) )(0 ne )(1 ne )(1 zH )(2 ne )(3 ne )(2 zH、 通過網(wǎng)絡(luò) )(1)(11 zAzH ? )(1)(22 zAzH ?21221212)())((12))((12ececefp zdzzzjzdzzzj???????????? ?? ??＝＝因此輸出的方差為 則第一級、第二級都有兩個誤差源，故有 所以 61222222212 qqeee ????? ???22 qfq ??由此得出結(jié)論：對 IIR濾波器 ， 從有限字長效應(yīng)來看 ， 不論是哪一種型式的直接型結(jié)構(gòu)都是最差的 ， 運算誤差最大 ， 特別在高階時應(yīng)避免采用 。 2f?))(()(11 ?? ?? zzzH ＝、 直接型結(jié)構(gòu) )(1)(21 zAzzzH ????)( nx1?z1?z0. 2)(0ne)(1ne)(2ne1. 7－ 0. 72)()( nenyf?1?z1?z1. 7－ 0. 72)( nef)()()(210nenene ??a 相乘引入的舍入噪聲 b 三個舍入噪聲 通過相同的傳輸網(wǎng)絡(luò) 直接型的舍入噪聲 ：系數(shù) 、 — )()()( 210 nenene 、)(1)(1 zAzH ?它們均經(jīng)過相同的傳輸網(wǎng)絡(luò) 輸出噪聲的方差是 )()]()()([)( 1210 nhnenenene ???＝4123222 qqe ＝＝ ??222221122))()(())()(..0())()()((12qzdzzzzzjeecefd＝＝＝＝????????????????????????? ??)(1)(1)(2111 zAzAzzzH ＝?????)( nx1?z 1?z0. 2)(0ne )(1ne )(2ne0. 9 )()( nenyf?級聯(lián)型：可以有幾種排列形式 )()( 11 ??? zzA先令 ，并把 ，即 )()(1)(211 zAzAzH ?)(1)(21 zAzH ?2221122112121))((12))()()((12eececefezdzzzjzdzzzzzj????????????????????＝＝)(0 ne )(1 ne )(1 zH )(2 ne )(2 zH、 通過網(wǎng)絡(luò) 、 通過網(wǎng)絡(luò) 輸出噪聲的方差是 61222221qqe ???? 12222qe ??22 1 qfe ??第一級有兩個誤差源，第二級有一個誤差源，故有 所以 再令 ，并把 ，有 )()( 11 ??? zzA)()(11)(2111 zAzAzzzH ＝?????)( nx1?z1?z0. 2)(1ne)(2ne0. )()( nenyf?)(0ne)(0 ne )(1 ne )(1 zH)(2 ne)(2 zH、 通過網(wǎng)絡(luò) 、 通過網(wǎng)絡(luò) 輸出噪聲的方差 )(1)(11 zAzH ? )()(1)(212 zAzAzH ?22211221122122))((12))()()((2eececefezdzzzjzdzzzzzj????????????????????＝＝第一級有兩個誤差源，第二級有一個誤差源，故有 所以 12221qe ?? 61222222qqe ????22 1 qfe ??結(jié)論：系數(shù) bi和 A(k)的排列不同，輸出誤差也有所不同。 。 這祥就會使實軸附近的極點 (例加低通、高通濾波器 )量化誤差較大、而對虛軸附近的極點 (例如帶通濾波器 )量化誤差較小 這種分布只是二階直接型結(jié)構(gòu)的情況，不同結(jié)構(gòu)的濾波器，系數(shù)對零極點位置的影響是不一樣的 結(jié)論： )( nx)( ny1?z1?z?co sr?cosr?sinr??s inr該網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)為 ： 221)( c os211)(?? ?? zrzrzH ?＝當(dāng)系數(shù)量化時，是對 及 進(jìn)行量化，因而所得到的網(wǎng)格點子在 z平面是均勻分布的 ?cosr?sinr這里系數(shù)量化后對 z平面的所有區(qū)域，所產(chǎn)生的誤差是相同的。 2a?cosr 1ar1a 2a如果 、 用三位字長表示， b＝ 3(不算符號位 )， r87? ?cosr只能表達(dá) 8種半徑 值和 之間的 15種實軸坐標(biāo)值 三位二進(jìn)碼β 1,β 2,β 3 所表達(dá)的 的值 |a1 | 極點橫坐標(biāo) a2三位二進(jìn)碼 所表達(dá)的 a2的值 極點半徑 2c o s 1ar ?? 321 ??? 、 2ar＝極點位置如下 圖 中的網(wǎng)眼節(jié)點 ? 如果所需要的極點位置不在這些網(wǎng)眼節(jié)點上時，就只能以最靠近的一個節(jié)點來代替這一極點位置，這樣就引入了極點位置誤差 R e[ x]j I m[ x]101a 1 = 1. 751. 501. 251. 000. 750. 500. 25a 1 = － 0. 25－ 0. 50－ 0. 75－ 1. 00－ 1. 25－ 1. 50－ 1. 75a 2 = 0. 1250. 2500. 3750. 5000. 6250. 7500. 875系數(shù)量化使零極點位置的取值范圍由一個連續(xù)域變?yōu)橐粋€離散的平面點陣，從而造成零極點的漂移，導(dǎo)致系統(tǒng)特性的改變。 系數(shù)量化對二階子系統(tǒng) 極點位置的影響 高階系統(tǒng) ? 級聯(lián)型和并聯(lián)型優(yōu)于直接型。 考察用三個一階的環(huán)節(jié)級聯(lián)或并聯(lián)組成這個系統(tǒng) 。 再研究 ，即將極點移到單位圓上需要的字長 ＝z?＝計算得： a? ??二進(jìn)制數(shù)中為 214＜ ＜ 213， 字長至少要 14位 。 字長越長， A/D變換的信噪比越高 2x? 為了使信號不超過定點制運算所允許的動態(tài)范圍，用一個小于 1的正數(shù) A（ 0＜ A＜ 1＝去乘 x(n) 信號的平均功率 與量化噪聲的平均功率 之比 2xA? ?e2AbAdBS NR xex lg20)l g ()( 2222????????? ??? ＝＝選擇 A值：使 12 ?xA ?)l g ()( 222????????? bAbAdBS NRxex ＝＝＝ ???若需得到信噪比大于 70dB，至少需要滿足 b＝ 12bit 字長過長也無必要： ? 輸入信號 xa(t)本身也有一定的信噪比，字長長到 A/D變換器的量化噪聲比 xa(t)的噪聲電平更低則沒有意義 為提高信噪比， ? 可以增大輸入信號，但這受到 A/D變換器動態(tài)范圍的限制， ? 還可以增加字長 b，但這又受到輸入信號 xa(t)信噪比的限制 量化噪聲通過線性非時變系統(tǒng) 量化噪聲通過線性系統(tǒng) + )()(zHnh)( nx )(? nx)()()(? nenynyf??)( ne)()()()]()([)()(?)(? nenynhnenxnhnxny f???? ＝＝＝設(shè) e(n)是定點補碼舍入誤差， e(n)的均值為 me 、方差為 ?e2則系統(tǒng)量化噪聲的輸出 的均值 mf和方差 計算如下： 2f?)(ne f0)()]()([)]([0?? ???meff mhmnhneEneEm ＝＝＝????022222 )()]([]))([(meffff mhneEmneE ?? ＝＝＝根據(jù) Parseval定理， 也可以用下式表示： 2f?或者在單位圓上計算 ?? ?????cemef zdzzHzHjmh )()(2)(120222???????