【導(dǎo)讀】數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)質(zhì)：一組數(shù)值運(yùn)算。從設(shè)計(jì)的角度來(lái)討論：認(rèn)為數(shù)字是無(wú)限精度的。數(shù)字系統(tǒng)中的每一個(gè)數(shù)總是用有限字長(zhǎng)的二進(jìn)制數(shù)碼表示，對(duì)于原設(shè)計(jì)系統(tǒng)的誤差，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰。數(shù)字運(yùn)算過(guò)程中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)。浮點(diǎn)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置是不固定的，它隨每個(gè)數(shù)的大小而變化。有一個(gè)隱含“1”。其階碼連同階符統(tǒng)一編碼，浮點(diǎn)數(shù)。32位，雙精度數(shù)是64位。而量化影響也相同。截尾前x有b1位，有?正小數(shù)截尾后數(shù)值變小，故截尾誤差總是負(fù)的。令——量化間距或量化步階，因此下式成立bq??因而產(chǎn)生的量化誤差也不相同。對(duì)所有的x，－q<ET≤0。舍入誤差總是處在＋q/2之間，定點(diǎn)制舍入處理的量化特性

　　

【正文】 振蕩，稱(chēng)為 溢出極限環(huán)振蕩 溢出極限環(huán)振蕩產(chǎn)生的原因：定點(diǎn)加法運(yùn)算存在著溢出 110 1 2 3)( vfv補(bǔ)碼加法運(yùn)算的非線性 以定點(diǎn)補(bǔ)碼運(yùn)算的二階 IIR濾波器為例進(jìn)行討論 此二階濾波器的差分方程為 )()2()1()( 21 nxnyanyany ?????2121222211 )(11)(ppzppzzzazazH ??????? ??24 221121aaap ??＝，系統(tǒng)函數(shù)為 首先考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1|| 21 ?，p)(zH 1p 2p穩(wěn)定的條件是 的兩個(gè)極點(diǎn) 、 在單位圓內(nèi) 1a 2a可得 、 的值域?yàn)?圖 示的大三角形 1a 2a 1|| 21 ?，p即 、 落于大三角形之內(nèi)才能滿足 ( 0, 1)( 2, 1)( 2, 1)III1a2a其次 ， 為了保證不溢出 ， 即要滿足 1|)2()1(||)(| 21 ????? nyanyany1|||| 21 ?? aa1|)(| ?ny1|||| 21 ?? aa如上圖 中 的陰影部分 ． 1a 2a由此式求出 、 的關(guān)系 若 必定期足 系統(tǒng)不產(chǎn)生溢出極限環(huán)振蕩的充要條件 由于溢出極限環(huán)的振蕩幅度為 1， 數(shù)字濾波器無(wú)法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波 ， 可以通過(guò)飽和型加法運(yùn)算的辦法加以消除 。 飽和加法器的特點(diǎn)是 ， 當(dāng)相加器的輸入之和大于 1或小于－ 1時(shí) ， 就分別以 1和－ 1代表相加結(jié)果 ， 其特性如 圖 所示 ，這樣就能克服溢出振蕩 110 1輸出)( Vf輸入V1補(bǔ)碼飽和加法器特性 浮點(diǎn)運(yùn)算中的有限字長(zhǎng)效應(yīng) 乘法和加法之后都需要進(jìn)行尾數(shù)量化。 ? 流圖中乘法支路之后或加法節(jié)點(diǎn)處都將疊加 — 個(gè)量化噪聲 舍入或截尾處理只影響尾數(shù)的字長(zhǎng)，不影響階碼，但所產(chǎn)生的誤差值卻與階碼值有關(guān)。 ? 分析中用相對(duì)誤差比用絕對(duì)誤差更適合 系統(tǒng)的輸出誤差大小與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān) ? 本節(jié)上一部分系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對(duì)輸出誤差影響的結(jié)論同樣成立 取相同的尾數(shù)字長(zhǎng)時(shí)，浮點(diǎn)運(yùn)算的誤差要比定點(diǎn)運(yùn)算的誤差小。 ? 浮點(diǎn)制中可以充分利用尾數(shù)的字長(zhǎng)，使每一個(gè)數(shù)不論其數(shù)值大小，都能保持同樣的相對(duì)精度 浮點(diǎn)制系統(tǒng)的字長(zhǎng)一定時(shí)，其輸出的信噪比為一常數(shù)； ? 定點(diǎn)制系統(tǒng)中，輸出噪聲的方差與信號(hào)無(wú)關(guān)，因此信號(hào)越大，輸出的信噪比越大 FFT算法的有限字長(zhǎng)效應(yīng) 從運(yùn)算的角度分析， FFT與數(shù)字濾波器一樣都是系統(tǒng)，因此，二者的有限字長(zhǎng)效應(yīng)分析方法基本上是相同的 不同的是 FFT中的運(yùn)算是一個(gè)復(fù)數(shù)運(yùn)算，因此誤差源是一個(gè)復(fù)數(shù)，同時(shí) FFT運(yùn)算有多個(gè)輸入端及多個(gè)輸出端，各誤差源對(duì)不同的輸出端的影響是不同的。 以時(shí)間抽取 DIT為例進(jìn)行有限字長(zhǎng)效應(yīng)分析，并且針對(duì)的是舍入情況，其他 FFT算法及截尾運(yùn)算結(jié)果是相似的 蝶形運(yùn)算的統(tǒng)計(jì)模型 )()()(1 jXWiXiX mrNmm ?? ＝)()()(1 jXWiXiX mrNmm ?? ＝定點(diǎn)制運(yùn)算中只有乘法引入量化誤差 ， 加法運(yùn)算不引入誤差 蝶形運(yùn)算中只在乘系數(shù) 時(shí)引入一個(gè)誤差源 rNW me)( jXm)( iXm)(1iXm ?)(1iXm ?rNWme1 是復(fù)數(shù)相乘 ， 所產(chǎn)生誤差 就是一個(gè)復(fù)數(shù) me)( jXW mrN4321 , eeee一個(gè)復(fù)數(shù)相乘要由四個(gè)實(shí)數(shù)相乘來(lái)構(gòu)成 、 每個(gè)實(shí)數(shù)相乘都將引入一個(gè)相應(yīng)的誤差 。 因而共有四個(gè)誤差 假設(shè)是舍入量化 ， 則 }]R e [)](I m []I m [)]({ R e [}]I m [)](I m []R e [)]({ R e [)(])([4321eWjXeWjXjeWjXeWjXeWjXWjXQrNmrNmrNmrNmmrNmrNmr?????????)( 4221 eejeee m ???＝34]|[|]|[|]|[|]|[|]|[|222423222122qeEeEeEeEeEemB＝＝＝＝?? ???me 2B?復(fù)數(shù) 的方差 為 分析乘以 后的方差影響 rNW2222 ]|[|||]|[| BmrNrNm eEWWeE ?＝＝ ?通過(guò)所有后級(jí)蝶形時(shí)，其方差保持不變 me每一個(gè)輸出端都與 N－ 1個(gè)蝶形相連， 即有 N－ 1個(gè)量化噪聲源對(duì)每個(gè)輸出端有貢獻(xiàn) 在終端，在離散傅里葉變換 )(kX上疊加的輸出噪聲的均方值為 和 FIR濾波器的直接型實(shí)現(xiàn)一樣 ， 輸出噪聲的總方差正比于 N 3)1(2222 NqNNBBF =≈ ??? ＝ 防止溢出和 FFT輸出的信噪比 分析蝶形運(yùn)算 )()()(1 jXWiXiX mrNmm +=+|)(||)(||)(||||)(||)(| 1 jXiXjXWiXiX mmmrNmm ?????|)(||)(||)(| 1 jXiXjX mmm ???|})(||)(m a x { |2|})(||)(m a x { | 11 jXiXjXiX mmmm ， ???同樣 所以 蝶形運(yùn)算的輸出最大值不超過(guò)輸入端最大值的兩倍。 從前一級(jí)到后一級(jí)，最大模值是逐級(jí)非減的，只要最后一級(jí)不出現(xiàn)溢出，則前一級(jí)計(jì)算一定不會(huì)溢出。 三種防止溢出的辦法 輸入端 — 次衰減法 由蝶形公式可以證明 |])(m a x [ ||})(||)(m a x { |2|})(||)(m a x { | 11nxNjXiXjXiXmmmm????，為使 不溢出 ， 即 ， )(kX 1|])(m a x [ | ?kXNnx1|)(| ?)(nx所以輸入 應(yīng)滿足條件 輸出信噪比為 )(nx若 在 內(nèi)等概率分布，則 的方差為 )1,1( NN?)(nx22231]|)([|NnxEx ???由于 ，輸出信號(hào)的方差為 ???? 10)()( NnknNWnxkX? ????? 10222231||]|)([|]|)([| NnxknN NNWnxEkXE ?2222 1]|)([|qNkXES N RF?? ?信噪比與 N2成反比， N增加一倍， SNR下降 4倍 若保持運(yùn)算精度不變，每增加一級(jí)運(yùn)算，字長(zhǎng)也需相應(yīng)增加一位。這種防止溢出的辦法，使得輸入幅度被限制得過(guò)小，造成輸出信號(hào)／噪聲比值過(guò)小 )( jXm)( iXm)(1iXm ?)(1iXm ?),( jme21rNW21),( ime1逐級(jí)衰減法 對(duì)每個(gè)蝶形結(jié)的兩個(gè)輸入支路都乘上個(gè)比例因子 每 — 輸入信號(hào)均乘以 1/2， 因此每個(gè)蝶形有二個(gè)乘法運(yùn)算 ， 即有二個(gè)誤差源 、 。 若每個(gè)誤差源的方差為 1me 2me 2B?222212 2]|[|]|[| BmmB eEeE ?? ????rNW)(222 2 mMBQ ???? ??則蝶形運(yùn)算總的誤差方差為 由于系數(shù) 1/2存在，各誤差源到輸出端的傳輸系數(shù)不再是 177。 1或 的連乘積， rNW21 rNW21?而是 或 的連乘積，連乘次數(shù)與蝶形位置有關(guān)。 2Q?因此第 m級(jí)蝶形的誤差源在輸出端的誤差方差 為 222212)(1)(22122344)11(4)11(22222qNNBBBMmBmMMmmMBmMMmQmMF?????????????????????????????22224134)3(1]|)([|NqqNkXES N RF??? ?總的輸出方差為 輸出信噪比為 與 輸入端一次衰減法 相比，信噪比有了很大的提高 為保證運(yùn)算精度不變， N增加 4倍，字長(zhǎng)只需增加一位 成組浮點(diǎn)運(yùn)算 )](R e [2)](R e [ ixix p ?? )](I m [2)](I m [ ixix p ??保證 ， 1)](R e [ ?? ix 1)](I m [ ?? ix將原始數(shù)據(jù)用成組浮點(diǎn)制表示為 p 為某個(gè)整數(shù)，稱(chēng)為共階數(shù) 對(duì) 作定點(diǎn) FFT，當(dāng)某個(gè)蝶形結(jié)出現(xiàn)溢出，則將整個(gè)這一級(jí)的序列 (運(yùn)算過(guò)的，未運(yùn)算的 )全部左移一位 (即乘1／ 2因子 )，并在階碼 p 上加 1，然后運(yùn)算從發(fā)生溢出的蝶形繼續(xù)下去。 當(dāng)以后某級(jí)蝶形運(yùn)算又出現(xiàn)溢出時(shí)，再對(duì)該級(jí)的輸入乘上 1/2衰減因子，并在階碼 p上加 1繼續(xù)運(yùn)算，直到 L級(jí)計(jì)算完為止 )]([ ix?)1|)((|322 時(shí)??? nxNN xX ??2222 13S N R qNNBFX ??????22141qSN RNq ??如果在整個(gè)變換過(guò)程中，一次溢出也沒(méi)有發(fā)生，輸出信號(hào)方差最大，當(dāng)輸入為白噪聲型信號(hào)時(shí)，其值為 輸出信噪比為 最壞的情況是各級(jí)都產(chǎn)生了衰減 ， 這相當(dāng)于第二種方法 。 所以成組浮點(diǎn)法快速傅立葉變換的信噪比的變化范圍為 浮點(diǎn) FFT算法中的量化效應(yīng) 采用的分析方法基本相同 ? 對(duì)輸入信號(hào)和舍入噪聲做同樣的假設(shè) ? 對(duì)任一輸出節(jié)點(diǎn)，考慮與其相連的那些蝶形 與定點(diǎn) FFT算法誤差分析不同之處有 ? 浮點(diǎn)加法和浮點(diǎn)乘法之后都需做尾數(shù)處理，都會(huì)引入噪聲源，因此模型設(shè)計(jì)與定點(diǎn) FFT系統(tǒng)有所不同 ? 模型中的絕對(duì)誤差換需算成相對(duì)誤差，再進(jìn)行分析 ? 浮點(diǎn)制 FFT系統(tǒng)任一輸出節(jié)點(diǎn)處的輸出信噪比為 22221}|)({|}|)({|ef LkeEkXE??