【正文】 始條件不同 ， 則可能得到非因果系統(tǒng) 。 先由初始條件及輸入求 h(0)值： ??110)0()1(21)0( ?????? ?hh再由 h(0)值及輸入推導(dǎo) h(1)，并依次推導(dǎo)得 h(2), h(3), … 。 由于初始條件已給定了 n=0 以前的輸出 ， 所以系統(tǒng)的輸出響應(yīng)只要從 n=0 開始求起 。 解 系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖 120所示 。 例如 ， 利用 δ(n)只在 n=0 取值為 1的特點(diǎn) ， 可用迭代法求出其單位脈沖響應(yīng) h(0), h(1), …, h(n)值 ， 。 差分方程在給定的輸入和給定的初始條件下 ， 可用遞推迭代的辦法求系統(tǒng)的響應(yīng) 。 離散時(shí)域求解法有兩種： （ 1） 迭代法 ， 此法較簡單 ， 但是只能得到數(shù)值解 ， 不易直接得到閉合形式 （ 公式 ） 解答 。 離散系統(tǒng)的差分方程表示法有兩個(gè)主要的用途 ， 一是 從差分方程表達(dá)式比較容易直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) ， 二是 便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 。 所謂 線性 是指各 y(nk)以及各 x(nk)項(xiàng)都只有一次冪且不存在它們的相乘項(xiàng) （ 這和線性微分方程是一樣的 ） 。 差分方程的階數(shù)等于未知序列 （ 指 y(n)） 變量序號的最高值與最低值之差 。習(xí)題 因果性 ? ? ? ? ? ?)2a y n x n x n? ? ?? ? ? ? ? ?) 4 3 2b y n y n x n? ? ? ? ?穩(wěn)定性 ? ? ? ? ? ? ? ?),a y n g n x n g n? 這里 有界? ? ? ?) xnb y n e?非因果的 因果的 穩(wěn)定的 穩(wěn)定的 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系常用常系數(shù)線性微分方程表示 ， 而離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系常用以下形式的常系數(shù)線性差分方程表示 ， 即 00( ) ( )NMkmkma y n k b x n m??? ? ??? 所謂常系數(shù) 是指決定系統(tǒng)特征的 a1,a2,…,aN, b1, b2, …, bM都是常數(shù) 。 例 ：設(shè)某線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為 ? ? ? ?nh n a u n?（ 1）討論因果性： n0時(shí)， h(n)=0，故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。 ???????mmh |)(| 顯然 ， 既滿足穩(wěn)定條件又滿足因果條件的系統(tǒng) ， 即 穩(wěn)定的因果系統(tǒng) 是最主要的系統(tǒng) 。 要證明一個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定 ， 只需找一個(gè)特別的有界輸入 ， 如果此時(shí)能得到一個(gè)無界的輸出 ， 那么就一定能判定一個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。已知系統(tǒng)穩(wěn)定，假設(shè) ???????nnh |)(|我們可以找到一個(gè)有界的輸入 1 ( ) 0()1 ( ) 0hnxnhn? ???? ?? ? ???輸出 y(n)在 n=0 這一點(diǎn)上的值為 ( 0 ) ( ) ( ) | ( ) || ( ) |mmmy x m h n m h mhm??? ?? ? ???? ??? ? ? ?? ? ???? 也即 y(0)是無界的 ， 這不符合穩(wěn)定的條件 ， 因而假設(shè)不成立 。 穩(wěn)定性要求對于每個(gè)有界輸入存在一個(gè)不變的正有限值 P， 對于所有 n值 ， 輸出序列 y(n)滿足 |y(n)|≤P∞ 一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是單位脈沖響應(yīng)絕對可和 ， 即 | ( ) |nP h n?? ? ?? ? ??證 充分條件： | ( ) |nP h n?? ? ?? ? ??若 如果輸入信號 x(n)有界，即對于所有 n皆有 |x(n)|≤M，則 | ( ) | ( ) ( ) | ( ) | | ( ) || ( ) | | ( ) |mmky n x m h n m x m h n mM h n m M h k MP??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????即輸出信號 y(n)有界，故原條件是充分條件。 穩(wěn)定系統(tǒng) 穩(wěn)定系統(tǒng) 是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出 （ BIBO） 的系統(tǒng) 。 但是數(shù)字信號處理往往是非實(shí)時(shí)的 ， 即使是實(shí)時(shí)處理 ， 也允許有很大延時(shí) 。已知為因果系統(tǒng)，如果假設(shè) n0時(shí)， h(n) ≠0,則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1nm m ny n x m h n m x m h n m?? ? ? ? ?? ? ? ??? 在所設(shè)條件下，第二個(gè) ∑ 式至少有一項(xiàng)不為零，y(n)將至少和 mn時(shí)的一個(gè) x(m)值有關(guān)，這不符合因果性條件，所以假設(shè)不成立。 證 : 充分條件 若 n0時(shí) h(n=0),則 ? ? ? ? ? ?nmy n x m h n m? ? ????因而 ? ? ? ? ? ?000nmy n x m h n m? ? ????? ? ? ?00y n m n x m?所以 只和 時(shí)的 值有關(guān)，因而系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。 根據(jù)上述定義 ， 可以知道 ，y(n)=nx(n)的系統(tǒng)是一個(gè)因果系統(tǒng) ， 而 y(n)=x(n+2)+ax(n)的系統(tǒng)是非因果系統(tǒng) 。 圖 123 具有相同單位脈沖響應(yīng)的三個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng) h1( n ) h2( n )h2( n ) h1( n )h1( n ) h2( n )x ( n )x ( n )x ( n )y ( n )y ( n )y ( n )*圖 124 線性時(shí)不變系統(tǒng)的并聯(lián)組合及其等效系統(tǒng) h1( n )h2( n )＋h1( n ) ＋ h2( n )y ( n )x ( n )x ( n ) y ( n ) 因果系統(tǒng) 所謂因果系統(tǒng) ， 就是系統(tǒng)某時(shí)刻的輸出 y(n)只取決于此時(shí)刻 ， 以及此時(shí)刻以前的輸入 ， 即 x(n), x(n1), x(n2), …。 3． 分配律 卷積也服從加法分配律： )()()()()]()([)( 2121 nhnxnhnxnhnhnx ?????? 也就是說 ， 兩個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的并聯(lián)等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩系統(tǒng)各自單位脈沖響應(yīng)之和 , 如圖 119所示 。 圖 122 線性時(shí)不變系統(tǒng) h ( n )x ( n ) y ( n ) ＝ x ( n ) h ( n )* 線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì) 1． 交換律 由于卷積與兩卷積序列的次序無關(guān)， 即卷積服從交換律， 故 )()()()()( nxnhnhnxny ????這就是說 ， 如果把單位脈沖響應(yīng) h(n)改作為輸入 ， 而把輸入 x(n)改作為系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) ， 則輸出 y(n)不變 。 )()]([ mnhmnT ????因此 ?????????mnhnxmnhmxny )()()()()( 如圖 122所示 。 下面討論這個(gè)問題： 設(shè)系統(tǒng)輸入序列為 x(n)， 輸出序列為 y(n)。 單位脈沖響應(yīng)是指輸入為單位脈沖序列時(shí)系統(tǒng)的輸出 。 除非特殊說明 ， 本書都是研究 LTI系統(tǒng) 。 證 由于二者不相等 ， 故不是時(shí)不變系統(tǒng) 。 這個(gè)性質(zhì)可用以下關(guān)系表達(dá)：若輸入 x(n)的輸出為 y(n)， 則將輸入序列移動(dòng)任意位后 ， 其輸出序列除了跟著移位外 ， 數(shù)值應(yīng)該保持不變 ， 即若 T［ x(n)］ =y(n) 則 T［ x(nm)］ =y(nm) （ m為任意整數(shù)） 滿足以上關(guān)系的系統(tǒng)就稱為時(shí)不變系統(tǒng)。 3)]()([2)]()([ 22112211 ???? nxanxanxanxaT2122112211221133)]()([2]3)(2[]3)(2[)()(aanxanxanxanxanyanya?????????證 很明顯， 在一般情況下 )()()]()([ 22112211 nyanyanxanxaT ???所以此系統(tǒng)不滿足疊加性， 故不是線性系統(tǒng)。 該式還可推廣到多個(gè)輸入的疊加 ， 即 ? ?? ????????k kkkkkkkk nxanxTanxaT )()]([)(式中 , yk(n)就是系統(tǒng)對輸入 xk(n)的響應(yīng) 。 上述第一個(gè)性質(zhì)稱為 可加性 ， 第二個(gè)稱為 齊次性或比例性 。 線性系統(tǒng) 滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng) ， 即若某一輸入是由 N個(gè)信號的加權(quán)和組成 ， 則輸出就是系統(tǒng)對這幾個(gè)信號中每一個(gè)的響應(yīng)的同樣加權(quán)和組成 。］ 來表示這種運(yùn)算 ， 則一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)可由圖121來表示 ， 即 )]([)( nxTny ?離散時(shí)間系統(tǒng)中最重要、 最常用的是 “ 線性時(shí)不變系統(tǒng)” 。 序列的能量 序列 x(n)的能量 E定義為序列各采樣樣本的平方和， 即 ??????nnxE 2|)(|(115) 例：計(jì)算信號 x(n)= 的能量，這是一個(gè)一側(cè)衰減的指數(shù)函數(shù)，它的信號能量是： ? ? 0, ?? nnJEnnnn 129)(9|)(3|002 ??????? ?????? 離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析 一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運(yùn)算 。 3 用單位采樣序列來表示任意序列 用單位采樣序列來表示任意序列對分析線性時(shí)不變系統(tǒng) （ 下面即將討論 ） 是很有用的 。 對于組合信號， N是各周期的最小公倍數(shù)。 離散信號的周期是每個(gè)周期的采樣點(diǎn)數(shù)。 用 ω0代替 Ω0T， 可得 )s i n ()( 0 ?? ?? nAnx這就是我們上面討論的正弦型序列。 如果對連續(xù)周期信號 xa(t)進(jìn)行采樣 ， 其采樣時(shí)間間隔為 T， 采樣后信號以 x(n)表示 ， 則有 )s i n (|)()( 0 ????? ? nTAtxnx nTt如果令 ω0為數(shù)字域頻率，滿足 ss fffT 0000 21 ?? ?????式中 , fs是采樣頻率 。 同樣 ， 指數(shù)為純虛數(shù)的復(fù)指數(shù)序列的周期性與正弦序列的情況相同 。 這時(shí) ， 正弦序列不是周期性的 。 （ 2） 當(dāng) 2π/ω0不是整數(shù)，而是一個(gè)有理數(shù)時(shí)（有理數(shù)可表示成分?jǐn)?shù)），則 kN?02??式中 ， k, N為互素的整數(shù) ， 則 為最小正整數(shù) ， 序列的周期為 N。 可分幾種情況討論如下 。 現(xiàn)在討論上述正弦序列的周期性。 復(fù)指數(shù)序列是最常用的一種復(fù)序列： njAenx )( 0)( ?? ?? (111a) 或 njAenx 0)( ?? (111b) 式中， ω0是復(fù)正弦的數(shù)字域頻率。 其中 ， ω0=2 π f0 圖 18 正弦序列 (ω0=) s i n ( n ?0)1－ 1no 6． 復(fù)指數(shù)序列 序列值為復(fù)數(shù)的序列稱為復(fù)指數(shù)序列 。 ω0為數(shù)字域的頻率 ， 它反映了序列變化的速率 。 (c) a=|a| …0 1 2 3 4 5－ 1 nanu ( n )| a | ＜ 1anu ( n )| a | ＞ 10 1 2 3 4 5－ 1 nanu ( n )0－ 1 n1 2 3 4 5… …a ＝－ | a |0a1 a1 1a 0 5． 正弦型序列 x(n)=A sin(nω0+υ) 式中 : A為幅度 。 圖 17 (a) |a|1。 而當(dāng) |a|1時(shí) ， 序列是發(fā)散的 。 圖 16 RN(n)序列 …nRN( n )1－ 10 1 2 3NN － 1RN(n)和 δ(n)、 u(n)的關(guān)系為 : )()()( NnununR N ?