【正文】 器的設(shè)計(jì) 第６章 ③ 求 hd(n): jπj j jdd πc11( ) ( e ) e d e e d2 π 2 πsin[ ( ) ] π ()ccnnh n Hnn??? ? ???????????????????④ 加窗 : cdsi n[ ( ) ]( ) ( ) ( ) ( )π () knh n h n w n w nn???????有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 （ 2） 調(diào)用 MATLAB函數(shù)設(shè)計(jì)及繪圖程序 ： %： 調(diào)用 fir1設(shè)計(jì)線性相位低通 FIR濾波器并 Fs=50000； fp=10000； fs=22021； rs=75； wp=2*pi*fp/Fs； ws=2*pi*fs/Fs； Bt=wswp； wc=(wp+ws)/2； N=ceil(10*pi/Bt)； hmn=fir1(N1， wc/pi， kaiser(N， ))； rs=100； a=1； mpplot(hmn， a， rs) %調(diào)用自編函數(shù) mpplot繪制損耗函數(shù)和相頻特性曲線 程序運(yùn)行結(jié)果即損耗函數(shù)和相頻特性曲線如題 14解圖所示， 請(qǐng)讀者運(yùn)行程序查看 h(n)的數(shù)據(jù)。 本題要求設(shè)計(jì)的 FIRDF指標(biāo)： 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 通帶截止頻率： ps2 π 1 0 0 0 0 2 π2 π r a d5 0 0 0 0 5pfF? ? ? ? ?ss2 π 2 2 0 0 0 2 2 π2 π r a d5 0 0 0 0 2 5sfF? ? ? ? ?阻帶截止頻率： 阻帶最小衰減： αs=75 dB 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 由習(xí)題 9中教材表 ， 本題應(yīng)選凱塞窗 (β=)。 解 ： （ 1） 根據(jù)教材 。 （ 1） 選擇合適的窗函數(shù)及其長(zhǎng)度， 求出 h(n)的表達(dá)式。 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 題 13解圖 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 14. 要求用數(shù)字低通濾波器對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行濾波， 要求： 通帶截止頻率為 10 kHz， 阻帶截止頻率為 22 kHz， 阻帶最小衰減為 75 dB， 采樣頻率為 Fs=50 kHz。 因?yàn)檫^渡帶寬度 Bt=8π/51， 所以窗口長(zhǎng)度 N為N≥， 取 N=43。 ① 根據(jù)對(duì)阻帶衰減及過渡帶的指標(biāo)要求， 選擇窗函數(shù)的類型， 并估計(jì)窗口長(zhǎng)度 N。 （ 2*） 用 MATLAB畫出損耗函數(shù)曲線和相頻特性曲線。 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 13. 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位低通 FIRDF， 要求通帶截止頻率為 π/4 rad， 過渡帶寬度為 8π/51 rad， 阻帶最小衰減為 45 dB。 對(duì)微分器設(shè)計(jì)， 在區(qū)間 ωpω≤π上頻率響應(yīng)特性要求為零時(shí)， 調(diào)用參數(shù) f=［ 0, ωp/π, (ωp+B)/π, 1］， m=［ 0,ωp/π, 0, 0］， 其中 B為過渡帶寬度（即無關(guān)區(qū)）， ωp不能太靠近 π， B也不能太小， 否則設(shè)計(jì)可能失敗。 hn=remez(N－ 1， f， m， ′defferentiator′) 設(shè)計(jì) N－ 1階 FIR數(shù)字微分器， 返回的單位脈沖響應(yīng)向量 hn具有奇對(duì)稱特性。 這一結(jié)論與教材給出的理論一致（對(duì)第二類線性相位濾波器， N=奇數(shù)時(shí)不能實(shí)現(xiàn)高通濾波特性）。 由圖可見， 當(dāng)濾波器長(zhǎng)度 N為偶數(shù)時(shí)， 逼近效果好。 本題要求的哈明窗函數(shù)： 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 )(1π2c o )(Hm nRN nnw N?????????② 將②式代入①式得到 h(n)的表達(dá)式： 2( 1 )si n π2 π2( ) c os ( )1( 1 )π2NnNnh n R nNnN?????? ????? ? ??????????????③ (2) 對(duì) 3種不同的長(zhǎng)度 N=20， 40和 41，用 MATLAB計(jì)算單位脈沖響應(yīng) h(n)和幅頻特性函數(shù)，并繪圖的程序 ： 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 %： 用哈明窗設(shè)計(jì)線性相位 FIR clear all； close all； N1=20； n=0： N1－ 1； tou=(N1－ 1)/2； h1n=sin((n－ tou)*pi)./(pi*(ntou).∧ 2).*(hamming(N1))′； N2=40； n=0： N2－ 1； tou=(N2－ 1)/2； h2n=sin((n－ tou)*pi)./(pi*(ntou).∧ 2).*(hamming(N2))′； N3=41； n=0： N3－ 1； tou=(N3－ 1)/2； h3n=sin((n－ tou)*pi)./(pi*(n－ tou).∧ 2).*(hamming(N3))′。 選定濾波器長(zhǎng)度 N和窗函數(shù)類型， 就可以直接按①式得到設(shè)計(jì)結(jié)果。 加窗后得到 ( ) ( ) ( )dh n h n w n?2c o s ( π ( ) ) s in ( π ( ) ) ( ) 0() π ()nn w n nnn?????? ??? ? ???????我們知道， 微分器的幅度響應(yīng)隨頻率增大線性上升， 當(dāng)頻率 ω=π時(shí)達(dá)到最大值， 所以只有 N為偶數(shù)的情況 4才能滿足全頻帶微分器的時(shí)域和頻域要求。 設(shè)模擬微分器的輸入和輸出分別為 x(t)和 y(t)， 即 ttxktyd)(d)( ?令 x(t)=ejΩt， 則 y(t)=jkΩeΩt=jkΩx(t) 對(duì)上式兩邊采樣（時(shí)域離散化）， 得到 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 ( ) j ( ) j e jny n T k x n T k T ??? ? ?jj( e ) F T [ ( ) ] j ( e )kY y n T XT?? ???其中 ω=ΩT。 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 解 : (1) 由于連續(xù)信號(hào)存在微分， 而時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào)的微分不存在， 因而本題要求設(shè)計(jì)的數(shù)字微分器是指用數(shù)字濾波器近似實(shí)現(xiàn)模擬微分器， 即用數(shù)字差分濾波器近似模擬微分器。 改進(jìn)升余弦窗： )πc o s()()( Hn3 nnhnh ?)()πc o s(20π2c o )10(π)]10(4πsi n [21 nRnnnn?????? ???? 矩形窗： )()πc o s()10(π)]10(4πsi n [)πc o s()()( 21R1 nRnnnnnhnh???? 對(duì)四種窗函數(shù)所得 FIR低通濾波器單位脈沖響應(yīng)為題 9解中的hR(n)、 hHn(n)、 hHm(n)和 hBl(n)。 方法二 根據(jù)第 7題（ 1）的證明結(jié)論設(shè)計(jì)。 仿照 10題， 用矩形窗、 升余弦窗、 改進(jìn)升余弦窗和布菜克曼窗對(duì)上面所求的 hd(n)加窗即可。 ??????????4π3|| 00 π|| 4π3e)e(10jjd????H≤ ≤ ≤ 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 ?? d)e(π2 1)( ππjdd ??? Hnh?? ??? dee deπ2 1 jπ 4/π3 10j10j4/π3π m?? ???? ??)10(π)10(4π3si n)10(π)]10(πsi n [??????? ?????nnnn3 πsin ( 1 0 )4δ ( 1 0 )π ( 1 0 )nnn?? ?????? ? ??有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 上式中 δ(n－ 10)對(duì)應(yīng)于全通濾波器。 布萊克曼窗 : B l d B l( ) ( ) ( )h n h n w n?)(20π4c o 20π2c o )10(π)10(4πsi n21 nRnnnn?????? ????????? ??有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 11． 將技術(shù)要求改為設(shè)計(jì)線性相位高通濾波器， 重復(fù)題10。 升余弦窗 : Hn2 π( ) 1 c os ( )1 Nw n R nN?????? ???H n d 2 1πsin ( 1 0 )2 π4( ) ( ) ( ) 1 c o s ( )2 π ( 1 0 ) 2 0nnh n h n w n R nn?? ??? ????? ? ???? ??有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 解 : (1) 希望逼近的理想低通濾波器頻響函數(shù) Hd(ejω)為 jjdπe 0 | | 4( e )π0 | | π4aH????????? ?? ???≤ ≤ ≤ 其中 , a=(N－ 1)/2=10。 要求希望逼近的理想低通濾波器通帶截止頻率 ωc= π/4 rad， N=21。 （ 3） 選哈明窗， 過渡帶寬度 1 kHz對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為B=1000π/5000=π/5， 精確過渡帶滿足： ≤π/5， 所以要求 N≥ 5=33。 過渡帶寬度 1 kHz對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為 B=200π/12 000=π/60， 精確過渡帶滿足： ≤π/60， 所以要求 N≥ 60=108。 為了觀察方便， 重寫出教材第 211頁(yè)中表 。 （ 1） 阻帶衰減為 20 dB， 過渡帶寬度為 1 kHz， 采樣頻率為 12 kHz； （ 2） 阻帶衰減為 50 dB， 過渡帶寬度為 2 kHz， 采樣頻率為 20 kHz； （ 3） 阻帶衰減為 50 dB， 過渡帶寬度為 500 Hz， 采樣頻率為 5 kHz。 直接計(jì)算 FT［ h1(n)］和［ h2(n)］也可以得到同樣的結(jié)論。 8． 題 8圖中 h1(n)和 h2(n)是偶對(duì)稱序列， N=8， H1(k)=DFT［ h1(n)］ k=0， 1， … ， N－ 1 H2(k)=DFT［ h2(n)］ k=0， 1， … ， N － 1 （ 1） 試確定 H1(k)與 H2(k)的具體關(guān)系式。 ω0處， 所以 h2(n)具有帶通特性。 ② 對(duì) hLp(n)乘以 cos(πn)即可得到高通濾波器 hHp(n) cos(πn)=(－ 1)nhLp(n)。 π為中心的附近， 即 h1(n)是一個(gè)高通濾波器。 π的結(jié)果。 試證明濾波器 h2(n)是一個(gè)帶通濾波器。 試證明濾波器 h1(n)是一個(gè)高通濾波器。 但升余弦窗設(shè)計(jì)的濾波器過渡帶為 8π/N ， 所以， 要求 ， 即要求 N≥128。 （ 2） h(n)=hd(n)w(n) ccsi n[ ( ) ( ) ] si n[ ( ) ] 2 c os ( )π () π ( ) 1 NB n a n a n Rnn a n a N????? ? ? ?? ??? ? ??? ????? ? ???????為了滿足線性相位條件， α與 N應(yīng)滿足 12N? ??有限脈沖響應(yīng) (FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第６章 實(shí)質(zhì)上， 即使不要求具有線性相位， α與 N也應(yīng)滿足該關(guān)系， 只有這樣， 才能截取 hd(n)的主要能量部分，