【正文】 思想． （ 3）（口述）直線和圓的位置關(guān)系同樣有三種：直線 L 和⊙ O 相交 ? dr；直線 L 和⊙相切 ? d=r；直線 L 和⊙ O 相離 ? dr；切線的判定定理： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線；切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑． 二、探索新知 從上面的復(fù)習(xí)，我們可以知道，過⊙ O 上任一點(diǎn) A 都可以作一條切線， 并且只有一條，根據(jù)下面提出的問題操作思考并解決這個(gè)問題． 問題：在你手中的紙上畫出⊙ O，并畫出過 A 點(diǎn)的唯 一切線 PA， 連結(jié) PO， 沿著直線 PO 將紙對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn) A 重合的點(diǎn)為 B，這時(shí)， OB 是⊙ O 的一條半徑嗎？ PB 是⊙ O 的切線嗎？利用圖形的軸對(duì)稱性，說明圓中的 PA 與 PB，∠ APO與∠ BPO 有什么關(guān)系？ 學(xué)生分組討論，老師抽取 3～ 4 位同學(xué)回答這個(gè)問題． 老師點(diǎn)評(píng)： OB與 OA 重疊， OA 是半徑， OB 也就是半徑了．又因?yàn)?OB 是半徑， PB 為 OB 的外端，又根據(jù)折疊后的角不變，所以 PB 是⊙ O 的又一條切線，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)， 我們很容易得到 PA=PB，∠ APO=∠BPO． 我們把 PA 或 PB 的長(zhǎng)，即經(jīng)過圓 外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)， 叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)． 從上面的操作幾何我們可以得到： 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 24 ww w . cz sx . co m . OBAPBACEDOF 下面，我們給予邏輯證明． 例 1． 如圖，已知 PA、 PB是⊙ O的兩條切線． 求證： PA=PB，∠ OPA=∠ OPB． 證明：∵ PA、 PB 是⊙ O 的兩條切線． ∴ OA⊥ AP， OB⊥ BP 又 OA=OB， OP=OP， ∴ Rt△ AOP≌ Rt△ BOP ∴ PA=PB， ∠ OPA=∠ OPB 因此，我們得到切線長(zhǎng)定理： 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 我們剛才已經(jīng)復(fù)習(xí)，三角形的三條角平分線于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三條邊的距離相等． （同剛才畫的圖）設(shè)交點(diǎn)為 I，那么 I 到 AB、 AC、 BC 的距離相等，如圖所示，因此以點(diǎn) I 為圓心，點(diǎn) I 到 BC 的距離 ID 為半徑作圓，則⊙ I 與△ ABC 的三條邊都相切． 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓， 內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心． 例 2．如圖，已知⊙ O 是△ ABC 的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為 D、 E、 F，如果 AE=1， CD=2， BF=3，且△ ABC 的面積為 6．求內(nèi)切圓的半徑 r． 分析：直接求內(nèi)切圓的半徑有困難，由于面積是已知的， 因此要轉(zhuǎn)化為面積法來求．就需添加輔助線，如果連結(jié) AO、 BO、 CO，就可把三角形 ABC 分為三塊， 那么就可解決． 解：連結(jié) AO、 BO、 CO ∵⊙ O 是△ ABC 的內(nèi)切圓且 D、 E、 F是切點(diǎn)． ∴ AF=AE=1， BD=BF=3， CE=CD=2 ∴ AB=4， BC=5， AC=3 又 ∵ S△ ABC=6 ∴ 12 （ 4+5+3） r=6 ∴ r=1 答：所求的內(nèi)切圓的半徑為 1． 三、鞏固練習(xí) 教材 P106 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 lww sx .co AC 25 例 3． 如圖，⊙ O 的直徑 AB=12cm， AM、 BN 是兩條切線， DC 切⊙ O 于 E，交 AM 于 D， 交 BN 于 C，設(shè)AD=x， BC=y． （ 1）求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并說明是什么函數(shù)？ （ 2）若 x、 y 是方程 2t230t+m=0的兩根，求 x， y 的值． （ 3）求△ COD 的面積． ww sx .co BACEDONM 分析：（ 1）要求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系，就是求 BC與 AD 的關(guān)系， 根據(jù)切線長(zhǎng)定理： DE=AD=x， CE=CB=y，即 DC=x+y， 又因?yàn)?AB=12，所以只要作 DF⊥ BC 垂足為 F， 根據(jù)勾股定理，便可求得． （ 2）∵ x， y 是 2t230t+m=0的兩根， 那么 x1+x2= 3 0 9 0 0 8 3 0 9 0 0 8 6 04 4 4mm? ? ? ???， x1x2=2m ，便可求得 x、 y 的值． （ 3）連結(jié) OE，便可求得． 解：（ 1）過點(diǎn) D 作 DF⊥ BC，垂足為 F，則四邊形 ABFD為矩形． ∵⊙ O 切 AM、 BN、 CD 于 A、 B、 E ∴ DE=AD， CE=CB ∵ AD=x， CB=y ∴ CF=yx， CD=x+y 在 Rt△ DCF 中， DC2=DF2+CF2 即（ x+y） 2=（ xy） 2+122 ∴ xy=36 ∴ y=36x 為反比例函數(shù)； （ 2）由 x、 y 是方程 2t30t+m=0的兩根，可 得： x+y= 223 0 3 0 8 3 0 3 0 844mm? ? ? ??=15 26 同理可得： xy=36 ∴ x=3， y=12或 x=12， y=3． （ 3）連結(jié) OE，則 OE⊥ CD ∴ S△ COD=12 CD ∴∠ A=30176。 綜上： CD 是⊙ O 的切線 ． （ 2）在 Rt△ OCD 中，∠ D=30176。即∠ ACO+∠ OCB=90176。又由∠ DCB=∠ A=30176。． .czs .BAC DO 因此，我們有切線的性質(zhì)定理 : 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑． 三、鞏固練習(xí) 教材 P102 練習(xí)， P103 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 2．如圖， AB 為⊙ O 的直徑， C 是⊙ O 上一點(diǎn)， D 在 AB 的延長(zhǎng)線上，且∠ DCB= ∠ A． （ 1） CD 與⊙ O 相切嗎？如果相切，請(qǐng)你加以證明，如果不相切，請(qǐng)說明理由． （ 2）若 CD 與⊙ O 相切，且∠ D=30176。 又∵∠ A=∠ D 在 Rt△ DBC 中， sinD=BCDC ，即 2R=sinaA 同理可證： sinbB =2R， sincC =2R ∴ sinaA = sinbB =sincC =2R 15 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．圓周角的概念； 2．圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等， 都相等這條弧所對(duì)的圓心角的一半； 3．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角， 90176。的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 下面，我 們通過這個(gè)定理和推論來解一些題目． 例 1．如圖， AB 是⊙ O 的直徑， BD 是⊙ O 的弦，延長(zhǎng) BD 到 C，使 AC=AB， BD與 CD 的大小有什么關(guān)系？為什么？ 分析： BD=CD，因?yàn)?AB=AC，所以這個(gè)△ ABC 是等腰，要證明 D 是 BC 的中點(diǎn)， 只要連結(jié) AD 證明 AD是高或是∠ BAC 的平分線即可． 解： BD=CD 理由是：如圖 2430，連接 AD ∵ AB 是⊙ O 的直徑 ∴∠ ADB=90176。的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其它們的應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 1．了解圓周角的概念． 2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中 ，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等， 都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半． 3．理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角， 90 176。AB， AB=A/B/． 現(xiàn)在它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說明了， 這就是又回到了我們的數(shù)學(xué)思想上去呢──化歸思想，化未知為已知，因此，我們可 以得到下面的定理： 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等． 同樣，還可以得到： 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等， 所對(duì)的弦也相等． 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等， 所對(duì)的弧也相等． （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在給予說明一下． 請(qǐng)三位同學(xué)到黑板板書，老師點(diǎn)評(píng)． 例 1． 如圖，在⊙ O 中， AB、 CD 是兩條弦， OE⊥ AB， OF⊥ CD，垂足分別為 EF． （ 1）如果∠ AOB=∠ COD，那么 OE 與 OF 的大小有什么關(guān)系？為什么？ （ 2）如果 OE=OF，那么 AB 與 CD的大小有什么關(guān)系？ AB 與 CD 的大小有什么關(guān)系？ 為什么？∠ AOB 與∠ COD 呢？ OBACEDF 10 分析：（ 1）要說明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE和直角三角形 COF中說明 AE=CF，即說明 AB=CD，因此，只要運(yùn)用前面所講的定理即可． （ 2）∵ OE=OF，∴在 Rt△ AOE 和 Rt△ COF 中， 又有 AO=CO 是半徑，∴ Rt△ AOE≌ Rt △ COF， ∴ AE=CF，∴ AB=CD，又可運(yùn)用上面的定理得到 AB =CD 解：（ 1）如果∠ AOB=∠ COD，那么 OE=OF 理由是：∵∠ AOB=∠ COD ∴ AB=CD ∵ OE⊥ AB， OF⊥ CD ∴ AE=12 AB， CF=12 CD ∴ AE=CF 又∵ OA=OC ∴ Rt△ OAE≌ Rt△ OCF ∴ OE=OF （ 2）如果 OE=OF，那么 AB=CD， AB =CD，∠ AOB=∠ COD 理由是： ∵ OA=OC， OE=OF ∴ Rt△ OAE≌ Rt△ OCF ∴ AE=CF 又∵ OE⊥ AB， OF⊥ CD ∴ AE=12 AB， CF=12 CD ∴ AB=2AE， CD=2CF ∴ AB=CD ∴ AB =CD，∠ AOB=∠ COD 三、鞏固練習(xí) 教材 P89 練習(xí) 1 教材 P90 練習(xí) 2． 四、應(yīng)用拓展 例 2． 如圖 3 和圖 4， MN 是⊙ O 的 直徑，弦 AB、 CD 相交于 MN 上的一點(diǎn) P， ∠ APM=∠ CPM． （ 1）由以上條件，你認(rèn)為 AB 和 CD 大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說明理由． 11 （ 2）若交點(diǎn) P 在⊙ O 的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由． BA CEDPONMF BACEDPNMF (3) (4) 分析：（ 1）要說明 AB=CD，只要證明 AB、 CD 所對(duì) 的圓心角相等， 只要說明它們的一半相等． 上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的． 解：（ 1） AB=CD 理由：過 O 作 OE、 OF 分別垂直于 AB、 CD，垂足分別為 E、 F ∵∠ APM=∠ CPM ∴∠ 1=∠ 2 OE=OF 連結(jié) OD、 OB 且 OB=OD ∴ Rt△ OFD≌ Rt△ OEB ∴ DF=BE 根據(jù)垂徑定理可得： AB=CD （ 2）作 OE⊥ AB， OF⊥ CD，垂足為 E、 F ∵∠ APM=∠ CPN 且 OP=OP，∠ PEO=∠ PFO=90176。 (1) (2) 你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？說一說你的理由？ 我能發(fā)現(xiàn)： AB = 39。 )O 39。BB 39。O B 39。AB， AB=A′ B′ 9 因此，在同一個(gè)圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等． 在等圓中，相等的圓心角是否也有所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等呢？ 請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在動(dòng)手作一作． （學(xué)生活動(dòng)）老師點(diǎn)評(píng)：如圖 1，在⊙ O 和⊙ O′中， 分別作相等的圓心角∠ AOB 和∠ A′ O′ B′得到如圖 2，滾動(dòng)一個(gè)圓 ，使 O 與 O′重合，固定圓心，將其中的一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，