【正文】 判定及其運用． 10．正多邊形和圓中的半徑 R、邊心距 r、中心角 θ 的關系的應用． 11． n 的圓心角所對的弧長 L= 180nR? 及 S 扇形 ＝ 2360nR? 的公式的應用． 12．圓錐側面展開圖的理解． 教學關鍵 1．積極引導學生通過觀察、測量、折疊、平移、旋轉等數(shù)學活動探索定理、 性質(zhì)、“三個”位置關系并推理證明等活動． 2．關注學生思考方式的多樣化，注重學生計算能力的培養(yǎng)與提高． 3．在觀察、操作和推導活動中，使學生有意識地反 思其中的數(shù)學思想方法， 發(fā)展學生有條理的思考能力及語言表達能力． 24． 1 圓 第一課時 教學內(nèi)容 1．圓的有關概念． 2．垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦， 并且平分弦所對的兩條弧及其它們的應用． 教學目標 了解圓的有關概念，理解垂徑定理并靈活運用垂徑定理及圓的概念解決一些實際問題． 從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過程，講授圓的有關概念．利用操作幾何的方法，理解圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸．通過復合圖形的折疊方法得出猜想垂 徑定理，并輔以邏輯證明加予理解． 重難點、關鍵 1．重點：垂徑定理及其運用． 2．難點與關鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實際問題． 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學口答下面兩個問題（提問一、兩個同學） 1．舉出生活中的圓三、四個． 2．你能講出形成圓的方法有多少種？ 4 老師點評（口答）：（ 1）如車輪、杯口、時針等．（ 2）圓規(guī)：固定一個定點，固定一個長度，繞定點拉緊運動就形成一個圓． 二、探索新知 從 以上圓的形成過程，我們可以得出： 在一個平面內(nèi)，線段 OA 繞它固定的一個端點 O 旋轉一周， 另一個端點所形成的圖形叫做圓．固定的端點 O 叫做圓心，線段 OA 叫做半徑． 以點 O 為圓心的圓，記作“⊙ O”，讀作“圓 O”． 學生四人一組討論下面的兩個問題： 問題 1：圖上各點到定點（圓心 O）的距離有什么規(guī)律？ 問題 2：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？ 老師提問幾名學生并點評總結． （ 1）圖上各點到定點（圓心 O）的距離都等于定長（半徑 r）； （ 2）到定點的距 離等于定長的點都在同一個圓上． 因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為 O，半徑為 r 的圓可以看成是所有到定點 O 的距離等于定長 r 的點組成的圖形． 同時，我們又把 ①連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如圖線段 AC， AB； ②經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖 241 線段 AB； ③圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，“以 A、 C 為端點的弧記作 AC ”，讀作“圓弧 AC ”或“弧 AC”．大于半圓的弧 （如圖所示 ABC 叫做優(yōu)弧， 小于半圓的?。ㄈ鐖D所示） AC 或 BC 叫做劣?。? BA CO ④圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓． （學生活動）請同學們回答下面兩個問題． 1．圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？ 你能找到多少條對稱軸？ 2．你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進行交流． （老師點評） 1．圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是直徑， 我能找到無數(shù)多條直徑． 5 3．我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對稱軸問題的． 因此，我們可以得到： 圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線． （學生活動）請同學按下面要求完成下題： 如圖， AB 是⊙ O 的一條弦，作直徑 CD，使 CD⊥ AB，垂足為 M． BACDOM （ 1）如圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？ （ 2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系 ？說一說你理由． （老師點評）（ 1）是軸對稱圖形，其對稱軸是 CD． （ 2） AM=BM， AC BC? ， AD BD? ，即直徑 CD 平分弦 AB，并且平分 AB 及 ADB ． 這樣，我們就得到下面的定理： 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。? 下面我們用邏輯思維給它證明一下： 已知：直徑 CD、弦 AB 且 CD⊥ AB 垂足為 M 求證： AM=BM， AC BC? ， AD BD? . 分析：要證 AM=BM，只要證 AM、 BM 構成的兩個三角形全等．因此，只要連結 OA、 OB 或 AC、BC 即可． 證明：如圖，連結 OA、 OB，則 OA=OB 在 Rt△ OAM 和 Rt△ OBM 中 OA OBOM OM??? ?? ∴ Rt△ OAM≌ Rt△ OBM ∴ AM=BM ∴點 A 和點 B 關于 CD 對稱 ∵⊙ O 關于直徑 CD 對稱 BACOM 6 CEDOFBA CEDONM ∴當圓沿著直線 CD 對折時，點 A 與點 B 重合， AC 與 BC 重合， AD 與 BD 重合． ∴ AC BC? ， AD BD? 進一步，我們還可以得到結論： 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。? （本題的證明作為課后練習） 例 1． 如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弦（即圖中 CD，點 O 是 CD的圓心， 其中 CD=600m，E 為 CD上一點，且 OE⊥ CD，垂足為 F， EF=90m，求這段彎路的半徑． 分析：例 1 是垂徑定理的應用，解題過程中使用了列方程的方 法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法一定要掌握． 解：如圖，連接 OC 設彎路的半徑為 R，則 OF=（ R90） m ∵ OE⊥ CD ∴ CF=12 CD=12 600=300（ m） 根據(jù)勾股定理，得： OC2=CF2+OF2 即 R2=3002+（ R90） 2 解得 R=545 ∴這段彎路的半徑為 545m． 三、鞏固練習 教材 P86 練習 P88 練習． 四、應用拓展 例 2．有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖 245 所示，正常水位下水面寬 AB= 60m，水面到拱頂距離 CD=18m，當洪水泛濫時，水面寬 MN=32m 時是否需要采取緊急措施？請說明理由． 分析：要求當洪水到來時，水面寬 MN=32m 是否需要采取緊急措施， 只要求出 DE 的長，因此只要求半徑 R，然后運用幾何代數(shù)解求 R． 解：不需要采取緊急措施 設 OA=R，在 Rt△ AOC 中， AC=30， CD=18 R2=302+（ R18） 2 R2=900+R236R+324 解得 R=34（ m） 連接 OM，設 DE=x，在 Rt△ MOE 中， ME=16 342=162+（ 34x） 2 7 162+34268x+x2=342 x268x+256=0 解得 x1=4， x2=64（不合設） ∴ DE=4 ∴不需采取緊急措施． 五、歸納小結（學生歸納，老師點評） 本節(jié)課應掌握： 1．圓的有關概念； 2．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸． 3．垂徑定 理及其推論以及它們的應用． 六、布置作業(yè) 1．教材 P94 復習鞏固 3． 圓 (第 2 課時 ) 教學內(nèi)容 1．圓心角的概念． 2．有關弧、弦、圓心角關系的定理：在同圓或等圓中， 相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等． 3．定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等， 那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等． 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心 角相等，所對的弧也相等． 教學目標 了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個量的兩個相等就可以推出其它兩個量的相對應的兩個值就相等，及其它們在解題中的應用． 通過復習旋轉的知識，產(chǎn)生圓心角的概念，然后用圓心角和旋轉的知識探索在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等，最后應用它解決一些具體問題． 重難點、關鍵 1．重點：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等， 所對弦也相等及其兩個推論 和它們的應用． 2．難點與關鍵：探索定理和推導及其應用． 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們完成下題． 已知△ OAB，如圖所示，作出繞 O 點旋轉 30176。 1 第二十四章 圓 單元要點分析 教學內(nèi)容 1．本單元數(shù)學的主要內(nèi)容． （ 1）圓有關的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角． （ 2）與圓有關的位置關系：點和圓的位置關系，直線與圓的位置關系， 圓和圓的位置關系． （ 3）正多邊形和圓． （ 4）弧長和扇形面積：弧長和扇形面積，圓錐的側面積和全面積． 2．本單元在教材中的地位與作用． 學生在學習本章之前，已通 過折疊、對稱、平移旋轉、推理證明等方式認識了許多圖形的性質(zhì)，積累了大量的空間與圖形的經(jīng)驗．本章是在學習了這些直線型圖形的有關性質(zhì)的基礎上，進一步來探索一種特殊的曲線──圓的有關性質(zhì)．通過本章的學習，對學生今后繼續(xù)學習數(shù)學，尤其是逐步樹立分類討論的數(shù)學思想、歸納的數(shù)學思想起著良好的鋪墊作用．本章的學習是高中的數(shù)學學習，尤其是圓錐曲線的學習的基礎性工程． 教學目標 1．知識與技能 （ 1）了解圓的有關概念，探索并理解垂徑定理，探索并認識圓心角、弧、 弦之間的相等關系的定理，探索并理解圓周角 和圓心角的關系定理． （ 2）探索并理解點和圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系：了解切線的概念， 探索切線與過切點的直徑之間的關系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線． （ 3）進一步認識和理解正多邊形和圓的關系和正多邊的有關計算． （ 4）熟練掌握弧長和扇形面積公式及其它們的應用； 理解圓錐的側面展開圖并熟練掌握圓錐的側面積和全面積的計算． 2．過程與方法 （ 1）積極引導學生從事觀察、測量、平移、旋轉、推理證明等活動． 了解概念，理解等量關系，掌握定理及公 式． （ 2）在教學過程中，鼓勵學生動手、動口、動腦，并進行同伴之間的交流． （ 3）在探索圓周角和圓心角之間的關系的過程中， 讓學生形成分類討論的數(shù)學思想和歸納的數(shù)學思想． （ 4）通過平移、旋轉等方式，認識直線與圓、圓與圓的位置關系， 使學生明確圖形在運動變化中的特點和規(guī)律，進一步發(fā)展學生的推理能力． 2 （ 5）探索弧長、扇形的面積、 圓錐的側面積和全面積的計算公式并理解公式的意義、理解算法的意義． 3．情感、態(tài)度與價值觀 經(jīng)歷探索圓及其相關結論的過程，發(fā)展學生的數(shù) 學思考能力；通過積極引導，幫助學生有意識地積累活動經(jīng)驗，獲得成功的體驗；利用現(xiàn)實生活和數(shù)學中的素材，設計具有挑戰(zhàn)性的情景，激發(fā)學生求知、探索的欲望． 教學重點 1．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦， 并且平分弦所對的兩條弧及其運用． 2．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等， 所對的弦也相等及其運用． 3．在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等， 都等于這條弧所對的圓心角的一半及其運用． 4．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角， 90 176。、 45176。． 二、探索新知 如圖所示，∠ AOB 的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角． BAO （學生活動）請同學們按 下列要求作圖并回答問題： 如圖所示的⊙ O 中，分別作相等的圓心角∠ AOB 和∠ A ′ OB ′將圓心角∠ AOB 繞圓心 O 旋轉到∠ A′ OB′的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系？為什么？ B39。AB， AB=A′ B′ 理由：∵半徑 OA 與 O′ A′重合，且∠ AOB=∠ A′ OB′ ∴半徑 OB 與 OB′重合 ∵點 A 與點 A′重合，點 B 與點 B′重合 ∴ AB 與 39。AB， AB=A′ B′ 9 因此，在同一個圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相