【正文】 C 相切？為什么？ （ 2）以點 C 為圓心，分別以 2cm 和 4cm 為半徑作兩個圓，這兩個圓與直線 AB 分別有怎樣的位置關(guān)系？ 分析：（ 1）根據(jù)切線的判定定理可知，要使直線 AB 與⊙ C 相切， 那么這條半徑應(yīng)垂直于直線 AB，并且 C 點到垂足的長就是半徑，所以只要求出如圖所示的 CD 即可． （ 2）用 d 和 r 的關(guān)系進行判定，或借助圖形進行判定． 解：（ 1）如圖 2454：過 C 作 CD⊥ AB，垂足為 D． 在 Rt△ ABC 中 BC= 2284? = 3 21 BACDO ∴ CD= 4 3 48? =2 3 因此，當(dāng)半徑為 2 3 cm 時， AB 與⊙ C 相切． 理由是：直線 AB 為⊙ C 的半徑 CD 的外端并且 CD⊥ AB，所以 AB 是⊙ C 的切線． （ 2）由（ 1）可知，圓心 C 到直線 AB 的距離 d=2 3 cm，所以 當(dāng) r=2 時， dr，⊙ C 與直線 AB 相離； 當(dāng) r=4 時， dr，⊙ C 與直線 AB 相交． 剛才的判定定理也好，或者例 1 也好，都是不知道直線是切線，而判定切線，反之，如果知道這條直線是切線呢？有什么性質(zhì)定理呢？ 實際上，如圖， CD 是 切線， A 是切點，連結(jié) AO 與⊙ O 于 B，那么 AB 是對稱軸，所以沿 AB 對折圖形時， AC 與 AD 重合，因此，∠ BAC=∠ BAD=90176。． .czs .BAC DO 因此，我們有切線的性質(zhì)定理 : 圓的切線垂直于過切點的半徑． 三、鞏固練習(xí) 教材 P102 練習(xí)， P103 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 2．如圖， AB 為⊙ O 的直徑， C 是⊙ O 上一點， D 在 AB 的延長線上，且∠ DCB= ∠ A． （ 1） CD 與⊙ O 相切嗎？如果相切，請你加以證明，如果不相切，請說明理由． （ 2）若 CD 與⊙ O 相切，且∠ D=30176。， BD=10，求⊙ O 的半徑． 分析：（ 1）要說明 CD 是否是⊙ O 的切線，只要說明 OC 是否垂直于 CD，垂足為 C， 因為 C 點已在圓上． 由已知易得：∠ A=30176。，又由∠ DCB=∠ A=30176。得： BC=BD=10 解：（ 1） CD 與⊙ O 相切 理由：① C 點在⊙ O 上（已知） 22 ②∵ AB 是直徑 ∴∠ ACB=90176。，即∠ ACO+∠ OCB=90176。 ∵∠ A=∠ OCA 且∠ DCB=∠ A ∴∠ OCA=∠ DCB ∴∠ OCD=90176。 綜上： CD 是⊙ O 的切線 ． （ 2）在 Rt△ OCD 中，∠ D=30176。 ∴∠ COD=60176。 ∴∠ A=30176。 ∴∠ BCD=30176。 ∴ BC=BD=10 ∴ AB=20，∴ r=10 答：（ 1） CD 是⊙ O 的切線，（ 2）⊙ O 的半徑是 10． 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，總結(jié)發(fā)言老師點評） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．直線和圓相交、割線、直線和圓相切，切線、切點、直線和圓相離等概念． 2．設(shè)⊙ O 的半徑為 r，直線 L 到圓心 O 的距離為 d 則有： 直線 L 和⊙ O 相交 ? dr 直線 L 和⊙ O 相切 ? d=r 直線 L 和⊙ O 相離 ? dr 3．切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． 4．切線的性質(zhì)定理，圓的切線垂直于過切點的半徑． 5．應(yīng)用上面的知識解決實際問題． 六、布置作業(yè) 1．教材 P110 復(fù)習(xí)鞏固 5． 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 (第 3 課時 ) 教學(xué)內(nèi)容 1．切線長的概念． 2．切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等， 這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 3．三角形的內(nèi)切圓及三角形內(nèi)心的概念． 教學(xué)目標(biāo) 了解切線長的概念． 23 理解切線長定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，熟練掌握它的應(yīng)用． 復(fù)習(xí)圓與直線的位置關(guān)系和切線的判定定理、性質(zhì)定理知識遷移到切長線的概念和切線長定理，然后根 據(jù)所學(xué)三角形角平分線的性質(zhì)給出三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心概念，最后應(yīng)用它們解決一些實際問題． 重難點、關(guān)鍵 1．重點：切線長定理及其運用． 2． 難點與關(guān)鍵：切線長定理的導(dǎo)出及其證明和運用切線長定理解決一些實際問題． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 1．已知△ ABC，作三個內(nèi)角平分線，說說它具有什么性質(zhì)？ 2．點和圓有幾種位置關(guān)系？你能說說在這一節(jié)中應(yīng)掌握幾個方面的知識？ 3．直線和圓有什么位置關(guān)系？切線的判定定理和性質(zhì)定理，它們?nèi)绾危? 老師 點評：（ 1）在黑板上作出△ ABC 的三條角平分線，并口述其性質(zhì)： ①三條角平分線相交于一點；②交點到三條邊的距離相等． （ 2）（口述）點和圓的位置關(guān)系有三種，點在圓內(nèi) ? dr；點在圓上 ? d=r；點在圓外 ? dr；不在同一直線上的三個點確定一個圓；反證法的思想． （ 3）（口述）直線和圓的位置關(guān)系同樣有三種：直線 L 和⊙ O 相交 ? dr；直線 L 和⊙相切 ? d=r；直線 L 和⊙ O 相離 ? dr；切線的判定定理： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線；切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑． 二、探索新知 從上面的復(fù)習(xí)，我們可以知道，過⊙ O 上任一點 A 都可以作一條切線， 并且只有一條，根據(jù)下面提出的問題操作思考并解決這個問題． 問題：在你手中的紙上畫出⊙ O，并畫出過 A 點的唯 一切線 PA， 連結(jié) PO， 沿著直線 PO 將紙對折，設(shè)圓上與點 A 重合的點為 B，這時， OB 是⊙ O 的一條半徑嗎？ PB 是⊙ O 的切線嗎？利用圖形的軸對稱性，說明圓中的 PA 與 PB，∠ APO與∠ BPO 有什么關(guān)系？ 學(xué)生分組討論，老師抽取 3～ 4 位同學(xué)回答這個問題． 老師點評： OB與 OA 重疊， OA 是半徑， OB 也就是半徑了．又因為 OB 是半徑， PB 為 OB 的外端，又根據(jù)折疊后的角不變，所以 PB 是⊙ O 的又一條切線，根據(jù)軸對稱性質(zhì)， 我們很容易得到 PA=PB，∠ APO=∠BPO． 我們把 PA 或 PB 的長，即經(jīng)過圓 外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長， 叫做這點到圓的切線長． 從上面的操作幾何我們可以得到： 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 24 ww w . cz sx . co m . OBAPBACEDOF 下面，我們給予邏輯證明． 例 1． 如圖，已知 PA、 PB是⊙ O的兩條切線． 求證： PA=PB，∠ OPA=∠ OPB． 證明：∵ PA、 PB 是⊙ O 的兩條切線． ∴ OA⊥ AP， OB⊥ BP 又 OA=OB， OP=OP， ∴ Rt△ AOP≌ Rt△ BOP ∴ PA=PB， ∠ OPA=∠ OPB 因此，我們得到切線長定理： 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 我們剛才已經(jīng)復(fù)習(xí)，三角形的三條角平分線于一點，并且這個點到三條邊的距離相等． （同剛才畫的圖）設(shè)交點為 I，那么 I 到 AB、 AC、 BC 的距離相等，如圖所示，因此以點 I 為圓心，點 I 到 BC 的距離 ID 為半徑作圓，則⊙ I 與△ ABC 的三條邊都相切． 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓， 內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心． 例 2．如圖，已知⊙ O 是△ ABC 的內(nèi)切圓，切點為 D、 E、 F，如果 AE=1， CD=2， BF=3，且△ ABC 的面積為 6．求內(nèi)切圓的半徑 r． 分析：直接求內(nèi)切圓的半徑有困難，由于面積是已知的， 因此要轉(zhuǎn)化為面積法來求．就需添加輔助線，如果連結(jié) AO、 BO、 CO，就可把三角形 ABC 分為三塊， 那么就可解決． 解：連結(jié) AO、 BO、 CO ∵⊙ O 是△ ABC 的內(nèi)切圓且 D、 E、 F是切點． ∴ AF=AE=1， BD=BF=3， CE=CD=2 ∴ AB=4， BC=5， AC=3 又 ∵ S△ ABC=6 ∴ 12 （ 4+5+3） r=6 ∴ r=1 答：所求的內(nèi)切圓的半徑為 1． 三、鞏固練習(xí) 教材 P106 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 lww sx .co AC 25 例 3． 如圖，⊙ O 的直徑 AB=12cm， AM、 BN 是兩條切線， DC 切⊙ O 于 E，交 AM 于 D， 交 BN 于 C，設(shè)AD=x， BC=y． （ 1）求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并說明是什么函數(shù)？ （ 2）若 x、 y 是方程 2t230t+m=0的兩根，求 x， y 的值． （ 3）求△ COD 的面積． ww sx .co BACEDONM 分析：（ 1）要求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系，就是求 BC與 AD 的關(guān)系， 根據(jù)切線長定理： DE=AD=x， CE=CB=y，即 DC=x+y， 又因為 AB=12，所以只要作 DF⊥ BC 垂足為 F， 根據(jù)勾股定理，便可求得． （ 2）∵ x， y 是 2t230t+m=0的兩根， 那么 x1+x2= 3 0 9 0 0 8 3 0 9 0 0 8 6 04 4 4mm? ? ? ???， x1x2=2m ，便可求得 x、 y 的值． （ 3）連結(jié) OE，便可求得． 解：（ 1）過點 D 作 DF⊥ BC，垂足為 F，則四邊形 ABFD為矩形． ∵⊙ O 切 AM、 BN、 CD 于 A、 B、 E ∴ DE=AD， CE=CB ∵ AD=x， CB=y ∴ CF=yx， CD=x+y 在 Rt△ DCF 中， DC2=DF2+CF2 即（ x+y） 2=（ xy） 2+122 ∴ xy=36 ∴ y=36x 為反比例函數(shù)； （ 2）由 x、 y 是方程 2t30t+m=0的兩根，可 得： x+y= 223 0 3 0 8 3 0 3 0 844mm? ? ? ??=15 26 同理可得： xy=36 ∴ x=3， y=12或 x=12， y=3． （ 3）連結(jié) OE，則 OE⊥ CD ∴ S△ COD=12 CDOE=12 （ AD+BC） 12 AB =12 15 12 12 =45cm2 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點評） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．圓的切線長概念； 2．切線長定理； 3．三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的概念． 六、布置作業(yè) 1．教材 P117 綜合運用 8． 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 (第 4 課時 ) 教學(xué)內(nèi)容 1．兩個圓相離（外離、內(nèi)含），兩個圓相切（外切、內(nèi)切）， 兩個圓相交等概念． 2．設(shè)兩圓的半徑分別為 r r2，圓心距（兩圓圓心的距離）為 d，則有兩圓的位置關(guān)系， d 與 r1和 r2之間的關(guān)系． 外離 ? dr1+r2 外切 ? d=r1+r2 相交 ? │r1r2│dr1+r2 內(nèi)切 ? d=│r1r2│ 內(nèi)含 ? 0≤d│r1r2│（其中 d=0，兩圓同心） 教學(xué)目標(biāo) 了解兩個圓相離（外離、內(nèi)含），兩個圓相切（外切、內(nèi)切），兩圓相交、圓心距等概念． 理解兩圓的互解關(guān)系與 d、 r r2等量關(guān)系的等價條件并靈活應(yīng)用它們解題． 通知復(fù)習(xí)直線和圓的位置關(guān)系和結(jié)合操作幾何，遷移到圓與圓之間的五種關(guān)系并運用它們解決一些具體的題目． 重難點、關(guān)鍵 1．重點：兩個 圓的五種位置關(guān)系中的等價條件及它們的運用． 2．難點與關(guān)鍵：探索兩個圓之間的五種關(guān)系的等價條件及應(yīng)用它們解題． 27 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入