【正文】 1 第二十四章 圓 單元要點(diǎn)分析 教學(xué)內(nèi)容 1．本單元數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容． （ 1）圓有關(guān)的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角． （ 2）與圓有關(guān)的位置關(guān)系：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系， 圓和圓的位置關(guān)系． （ 3）正多邊形和圓． （ 4）弧長和扇形面積：弧長和扇形面積，圓錐的側(cè)面積和全面積． 2．本單元在教材中的地位與作用． 學(xué)生在學(xué)習(xí)本章之前，已通 過折疊、對(duì)稱、平移旋轉(zhuǎn)、推理證明等方式認(rèn)識(shí)了許多圖形的性質(zhì)，積累了大量的空間與圖形的經(jīng)驗(yàn)．本章是在學(xué)習(xí)了這些直線型圖形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步來探索一種特殊的曲線──圓的有關(guān)性質(zhì)．通過本章的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生今后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，尤其是逐步樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想、歸納的數(shù)學(xué)思想起著良好的鋪墊作用．本章的學(xué)習(xí)是高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是圓錐曲線的學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性工程． 教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 （ 1）了解圓的有關(guān)概念，探索并理解垂徑定理，探索并認(rèn)識(shí)圓心角、弧、 弦之間的相等關(guān)系的定理，探索并理解圓周角 和圓心角的關(guān)系定理． （ 2）探索并理解點(diǎn)和圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系：了解切線的概念， 探索切線與過切點(diǎn)的直徑之間的關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線． （ 3）進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解正多邊形和圓的關(guān)系和正多邊的有關(guān)計(jì)算． （ 4）熟練掌握弧長和扇形面積公式及其它們的應(yīng)用； 理解圓錐的側(cè)面展開圖并熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算． 2．過程與方法 （ 1）積極引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、測量、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等活動(dòng)． 了解概念，理解等量關(guān)系，掌握定理及公 式． （ 2）在教學(xué)過程中，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，并進(jìn)行同伴之間的交流． （ 3）在探索圓周角和圓心角之間的關(guān)系的過程中， 讓學(xué)生形成分類討論的數(shù)學(xué)思想和歸納的數(shù)學(xué)思想． （ 4）通過平移、旋轉(zhuǎn)等方式，認(rèn)識(shí)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系， 使學(xué)生明確圖形在運(yùn)動(dòng)變化中的特點(diǎn)和規(guī)律，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力． 2 （ 5）探索弧長、扇形的面積、 圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算公式并理解公式的意義、理解算法的意義． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀 經(jīng)歷探索圓及其相關(guān)結(jié)論的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù) 學(xué)思考能力；通過積極引導(dǎo)，幫助學(xué)生有意識(shí)地積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得成功的體驗(yàn)；利用現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中的素材，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的情景，激發(fā)學(xué)生求知、探索的欲望． 教學(xué)重點(diǎn) 1．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦， 并且平分弦所對(duì)的兩條弧及其運(yùn)用． 2．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等， 所對(duì)的弦也相等及其運(yùn)用． 3．在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等， 都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半及其運(yùn)用． 4．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角， 90 176。的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其 運(yùn)用． 5．不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓． 6．直線 L 和⊙ O 相交 ? dr；直線 L 和圓相切 ? d=r；直線 L 和⊙ O 相離 ? dr 及其運(yùn)用． 7．圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑及其運(yùn)用． 8． 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線并利用它解決一些具體問題． 9．從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等， 這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角及其運(yùn)用． 10．兩圓的位置關(guān)系： d 與 r1和 r2之間的關(guān)系：外離 ? dr1+r2；外切 ? d=r1+r2；相交 ? │ r2r1│ dr1+r2；內(nèi)切 ? d=│ r1r2│；內(nèi)含 ? d│ r2r1│． 11．正多邊形和圓中的半徑 R、邊心距 r、中心角 θ 之間的等量關(guān)系并應(yīng)用這個(gè)等量關(guān)系解決具體題目． 12． n176。的圓心角所對(duì)的弧長為 L= 180nR? ， n176。的圓心角的扇形面積是 S 扇形 = 2360nR? 及其運(yùn)用這兩個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算． 13．圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算． 教學(xué)難點(diǎn) 1．垂徑定理的探索與推導(dǎo)及利用它解決一些實(shí)際問題． 2．弧、弦、圓心有的之間互推的有關(guān)定理的探索與推導(dǎo)， 并運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題． 3．有關(guān)圓周角的定理的探索及推導(dǎo)及其它的運(yùn)用． 4．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用． 5．三點(diǎn)確定一個(gè)圓的探索及應(yīng)用． 6．直線和圓的位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用． 3 7．切線的判定定理與性質(zhì)定理的運(yùn)用． 8．切線長定理的探索與運(yùn)用． 9．圓和圓的位置關(guān)系的判定及其運(yùn)用． 10．正多邊形和圓中的半徑 R、邊心距 r、中心角 θ 的關(guān)系的應(yīng)用． 11． n 的圓心角所對(duì)的弧長 L= 180nR? 及 S 扇形 ＝ 2360nR? 的公式的應(yīng)用． 12．圓錐側(cè)面展開圖的理解． 教學(xué)關(guān)鍵 1．積極引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、測量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)探索定理、 性質(zhì)、“三個(gè)”位置關(guān)系并推理證明等活動(dòng)． 2．關(guān)注學(xué)生思考方式的多樣化，注重學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)與提高． 3．在觀察、操作和推導(dǎo)活動(dòng)中，使學(xué)生有意識(shí)地反 思其中的數(shù)學(xué)思想方法， 發(fā)展學(xué)生有條理的思考能力及語言表達(dá)能力． 24． 1 圓 第一課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 1．圓的有關(guān)概念． 2．垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦， 并且平分弦所對(duì)的兩條弧及其它們的應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓的概念解決一些實(shí)際問題． 從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過程，講授圓的有關(guān)概念．利用操作幾何的方法，理解圓是軸對(duì)稱圖形，過圓心的直線都是它的對(duì)稱軸．通過復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂 徑定理，并輔以邏輯證明加予理解． 重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：垂徑定理及其運(yùn)用． 2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實(shí)際問題． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)口答下面兩個(gè)問題（提問一、兩個(gè)同學(xué)） 1．舉出生活中的圓三、四個(gè)． 2．你能講出形成圓的方法有多少種？ 4 老師點(diǎn)評(píng)（口答）：（ 1）如車輪、杯口、時(shí)針等．（ 2）圓規(guī)：固定一個(gè)定點(diǎn)，固定一個(gè)長度，繞定點(diǎn)拉緊運(yùn)動(dòng)就形成一個(gè)圓． 二、探索新知 從 以上圓的形成過程，我們可以得出： 在一個(gè)平面內(nèi)，線段 OA 繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)一周， 另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn) O 叫做圓心，線段 OA 叫做半徑． 以點(diǎn) O 為圓心的圓，記作“⊙ O”，讀作“圓 O”． 學(xué)生四人一組討論下面的兩個(gè)問題： 問題 1：圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心 O）的距離有什么規(guī)律？ 問題 2：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)又有什么特點(diǎn)？ 老師提問幾名學(xué)生并點(diǎn)評(píng)總結(jié)． （ 1）圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心 O）的距離都等于定長（半徑 r）； （ 2）到定點(diǎn)的距 離等于定長的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上． 因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為 O，半徑為 r 的圓可以看成是所有到定點(diǎn) O 的距離等于定長 r 的點(diǎn)組成的圖形． 同時(shí)，我們又把 ①連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖線段 AC， AB； ②經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖 241 線段 AB； ③圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，“以 A、 C 為端點(diǎn)的弧記作 AC ”，讀作“圓弧 AC ”或“弧 AC”．大于半圓的弧 （如圖所示 ABC 叫做優(yōu)弧， 小于半圓的?。ㄈ鐖D所示） AC 或 BC 叫做劣?。? BA CO ④圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓． （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們回答下面兩個(gè)問題． 1．圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？ 你能找到多少條對(duì)稱軸？ 2．你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進(jìn)行交流． （老師點(diǎn)評(píng)） 1．圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是直徑， 我能找到無數(shù)多條直徑． 5 3．我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對(duì)稱軸問題的． 因此，我們可以得到： 圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線． （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)按下面要求完成下題： 如圖， AB 是⊙ O 的一條弦，作直徑 CD，使 CD⊥ AB，垂足為 M． BACDOM （ 1）如圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？ （ 2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系 ？說一說你理由． （老師點(diǎn)評(píng)）（ 1）是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是 CD． （ 2） AM=BM， AC BC? ， AD BD? ，即直徑 CD 平分弦 AB，并且平分 AB 及 ADB ． 這樣，我們就得到下面的定理： 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。? 下面我們用邏輯思維給它證明一下： 已知：直徑 CD、弦 AB 且 CD⊥ AB 垂足為 M 求證： AM=BM， AC BC? ， AD BD? . 分析：要證 AM=BM，只要證 AM、 BM 構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等．因此，只要連結(jié) OA、 OB 或 AC、BC 即可． 證明：如圖，連結(jié) OA、 OB，則 OA=OB 在 Rt△ OAM 和 Rt△ OBM 中 OA OBOM OM??? ?? ∴ Rt△ OAM≌ Rt△ OBM ∴ AM=BM ∴點(diǎn) A 和點(diǎn) B 關(guān)于 CD 對(duì)稱 ∵⊙ O 關(guān)于直徑 CD 對(duì)稱 BACOM 6 CEDOFBA CEDONM ∴當(dāng)圓沿著直線 CD 對(duì)折時(shí)，點(diǎn) A 與點(diǎn) B 重合， AC 與 BC 重合， AD 與 BD 重合． ∴ AC BC? ， AD BD? 進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論： 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。? （本題的證明作為課后練習(xí)） 例 1． 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦（即圖中 CD，點(diǎn) O 是 CD的圓心， 其中 CD=600m，E 為 CD上一點(diǎn)，且 OE⊥ CD，垂足為 F， EF=90m，求這段彎路的半徑． 分析：例 1 是垂徑定理的應(yīng)用，解題過程中使用了列方程的方 法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握． 解：如圖，連接 OC 設(shè)彎路的半徑為 R，則 OF=（ R90） m ∵ OE⊥ CD ∴ CF=12 CD=12 600=300（ m） 根據(jù)勾股定理，得： OC2=CF2+OF2 即 R2=3002+（ R90） 2 解得 R=545 ∴這段彎路的半徑為 545m． 三、鞏固練習(xí) 教材 P86 練習(xí) P88 練習(xí)． 四、應(yīng)用拓展 例 2．有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖 245 所示，正常水位下水面寬 AB= 60m，水面到拱頂距離 CD=18m，當(dāng)洪水泛濫時(shí)，水面寬 MN=32m 時(shí)是否需要采取緊急措施？請(qǐng)說明理由． 分析：要求當(dāng)洪水到來時(shí)，水面寬 MN=32m 是否需要采取緊急措施， 只要求出 DE 的長，因此只要求半徑 R，然后運(yùn)用幾何代數(shù)解求 R． 解：不需要采取緊急措施 設(shè) OA=R，在 Rt△ AOC 中， AC=30， CD=18 R2=302+（ R18） 2 R2=900+R236R+324 解得 R=34（ m） 連接 OM，設(shè) DE=x，在 Rt△ MOE 中， ME=16 342=162+（ 34x） 2 7 162+34268x+x2=342 x268x+256=0 解得 x1=4， x2=64（不合設(shè)） ∴ DE=4 ∴不需采取緊急措施． 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．圓的有關(guān)概念； 2．圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸． 3．垂徑定 理及其推論以及它們的應(yīng)用． 六、布置作業(yè) 1．教材 P94 復(fù)習(xí)鞏固 3． 圓 (第 2 課時(shí) ) 教學(xué)內(nèi)容 1．圓心角的概念． 2．有關(guān)弧、弦、圓心角關(guān)系的定理：在同圓或等圓中， 相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等． 3．定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等， 那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等． 在同圓或等圓中