【正文】 ，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心 角相等，所對的弧也相等． 教學(xué)目標 了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個量的兩個相等就可以推出其它兩個量的相對應(yīng)的兩個值就相等，及其它們在解題中的應(yīng)用． 通過復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的知識，產(chǎn)生圓心角的概念，然后用圓心角和旋轉(zhuǎn)的知識探索在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等，最后應(yīng)用它解決一些具體問題． 重難點、關(guān)鍵 1．重點：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等， 所對弦也相等及其兩個推論 和它們的應(yīng)用． 2．難點與關(guān)鍵：探索定理和推導(dǎo)及其應(yīng)用． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下題． 已知△ OAB，如圖所示，作出繞 O 點旋轉(zhuǎn) 30176。、 45176。、 60176。的圖形． 8 BAO 老師點評：繞 O 點旋轉(zhuǎn)， O 點就是固定點，旋轉(zhuǎn) 30176。，就是旋轉(zhuǎn)角∠ BOB′ =30176。． 二、探索新知 如圖所示，∠ AOB 的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角． BAO （學(xué)生活動）請同學(xué)們按 下列要求作圖并回答問題： 如圖所示的⊙ O 中，分別作相等的圓心角∠ AOB 和∠ A ′ OB ′將圓心角∠ AOB 繞圓心 O 旋轉(zhuǎn)到∠ A′ OB′的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？ B39。BAA39。O AB = 39。39。AB， AB=A′ B′ 理由：∵半徑 OA 與 O′ A′重合，且∠ AOB=∠ A′ OB′ ∴半徑 OB 與 OB′重合 ∵點 A 與點 A′重合，點 B 與點 B′重合 ∴ AB 與 39。39。AB重合，弦 AB 與弦 A′ B′重合 ∴ AB = 39。39。AB， AB=A′ B′ 9 因此，在同一個圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等． 在等圓中，相等的圓心角是否也有所對的弧相等，所對的弦相等呢？ 請同學(xué)們現(xiàn)在動手作一作． （學(xué)生活動）老師點評：如圖 1，在⊙ O 和⊙ O′中， 分別作相等的圓心角∠ AOB 和∠ A′ O′ B′得到如圖 2，滾動一個圓 ，使 O 與 O′重合，固定圓心，將其中的一個圓旋轉(zhuǎn)一個角度，使得 OA 與 O′A′重合． O ( O 39。 )O 39。O B 39。A 39。BB 39。O ( O 39。 )O 39。OBAAA 39。 (1) (2) 你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？說一說你的理由？ 我能發(fā)現(xiàn)： AB = 39。39。AB， AB=A/B/． 現(xiàn)在它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說明了， 這就是又回到了我們的數(shù)學(xué)思想上去呢──化歸思想，化未知為已知，因此，我們可 以得到下面的定理： 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等． 同樣，還可以得到： 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等， 所對的弦也相等． 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等， 所對的弧也相等． （學(xué)生活動）請同學(xué)們現(xiàn)在給予說明一下． 請三位同學(xué)到黑板板書，老師點評． 例 1． 如圖，在⊙ O 中， AB、 CD 是兩條弦， OE⊥ AB， OF⊥ CD，垂足分別為 EF． （ 1）如果∠ AOB=∠ COD，那么 OE 與 OF 的大小有什么關(guān)系？為什么？ （ 2）如果 OE=OF，那么 AB 與 CD的大小有什么關(guān)系？ AB 與 CD 的大小有什么關(guān)系？ 為什么？∠ AOB 與∠ COD 呢？ OBACEDF 10 分析：（ 1）要說明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE和直角三角形 COF中說明 AE=CF，即說明 AB=CD，因此，只要運用前面所講的定理即可． （ 2）∵ OE=OF，∴在 Rt△ AOE 和 Rt△ COF 中， 又有 AO=CO 是半徑，∴ Rt△ AOE≌ Rt △ COF， ∴ AE=CF，∴ AB=CD，又可運用上面的定理得到 AB =CD 解：（ 1）如果∠ AOB=∠ COD，那么 OE=OF 理由是：∵∠ AOB=∠ COD ∴ AB=CD ∵ OE⊥ AB， OF⊥ CD ∴ AE=12 AB， CF=12 CD ∴ AE=CF 又∵ OA=OC ∴ Rt△ OAE≌ Rt△ OCF ∴ OE=OF （ 2）如果 OE=OF，那么 AB=CD， AB =CD，∠ AOB=∠ COD 理由是： ∵ OA=OC， OE=OF ∴ Rt△ OAE≌ Rt△ OCF ∴ AE=CF 又∵ OE⊥ AB， OF⊥ CD ∴ AE=12 AB， CF=12 CD ∴ AB=2AE， CD=2CF ∴ AB=CD ∴ AB =CD，∠ AOB=∠ COD 三、鞏固練習(xí) 教材 P89 練習(xí) 1 教材 P90 練習(xí) 2． 四、應(yīng)用拓展 例 2． 如圖 3 和圖 4， MN 是⊙ O 的 直徑，弦 AB、 CD 相交于 MN 上的一點 P， ∠ APM=∠ CPM． （ 1）由以上條件，你認為 AB 和 CD 大小關(guān)系是什么，請說明理由． 11 （ 2）若交點 P 在⊙ O 的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由． BA CEDPONMF BACEDPNMF (3) (4) 分析：（ 1）要說明 AB=CD，只要證明 AB、 CD 所對 的圓心角相等， 只要說明它們的一半相等． 上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的． 解：（ 1） AB=CD 理由：過 O 作 OE、 OF 分別垂直于 AB、 CD，垂足分別為 E、 F ∵∠ APM=∠ CPM ∴∠ 1=∠ 2 OE=OF 連結(jié) OD、 OB 且 OB=OD ∴ Rt△ OFD≌ Rt△ OEB ∴ DF=BE 根據(jù)垂徑定理可得： AB=CD （ 2）作 OE⊥ AB， OF⊥ CD，垂足為 E、 F ∵∠ APM=∠ CPN 且 OP=OP，∠ PEO=∠ PFO=90176。 ∴ Rt△ OPE≌ Rt△ OPF ∴ OE=OF 連接 OA、 OB、 OC、 OD 易證 Rt△ OBE≌ Rt△ ODF， Rt△ OAE≌ Rt△ OCF ∴∠ 1+∠ 2=∠ 3+∠ 4 ∴ AB=CD 五、歸納總結(jié)（學(xué)生歸納，老師點評） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．圓心角概念． 2．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等， 那么它們所對應(yīng)的其余各組量都部分相等，及其它們的應(yīng)用． 六、布置作業(yè) 1．教材 P9495 復(fù)習(xí)鞏固 8． 2．選用課時作業(yè)設(shè)計． 圓 (第 3 課時 ) 12 OBACEww F 教學(xué)內(nèi)容 1．圓周角的概念． 2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等， 都等于這條弦所對的圓心角的一半． 推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角， 90176。的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應(yīng)用． 教學(xué)目標 1．了解圓周角的概念． 2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中 ，同弧或等弧所對的圓周角相等， 都等于這條弧所對的圓心角的一半． 3．理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角， 90 176。的圓周角所對的弦是直徑． 4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用． 設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運用數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動證明定理推論的正確性，最后運用定理及其推導(dǎo)解決一些實際問題． 重難點、關(guān)鍵 1．重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運用它們解題． 2．難點：運 用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理． 3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動）請同學(xué)們口答下面兩個問題． 1．什么叫圓心角？ 2．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 老師點評：（ 1）我們把頂點在圓心的角叫圓心角． （ 2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等， 那么它們所對的其余各組量都分別相等． 剛才講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點不在圓心上，它在其它的位置上？如在 圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問題． 二、探索新知 問題：如圖所示的⊙ O，我們在射門游戲中，設(shè) E、 F 是球門， 設(shè)球員們只能在 EF 所在的⊙ O 其它位置射門，如圖所示的 A、 B、 C 點．通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像∠ EAF、∠ EBF、∠ ECF 這樣的角，它們的頂點在圓上， 并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角． 現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題． 13 OBA C 1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個？ 2．同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ 3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？ （學(xué)生分組討論）提問二、三位同學(xué)代表發(fā)言． 老師點評： 1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個． 2．通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角是沒有變化的． 3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半． 下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化， 并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半．” （ 1）設(shè)圓周角∠ ABC 的一 邊 BC是⊙ O的直徑，如圖所示 ∵∠ AOC 是△ ABO的外角 ∴∠ AOC=∠ ABO+∠ BAO ∵ OA=OB ∴∠ ABO=∠ BAO ∴∠ AOC=∠ ABO ∴∠ ABC=12 ∠ AOC （ 2）如圖，圓周角∠ ABC 的兩邊 AB、 AC 在一條直徑 OD 的兩側(cè)，那么∠ ABC=12 ∠ AOC嗎？請同學(xué)們獨立完成這道題的說明過程． 老師點評：連結(jié) BO 交⊙ O 于 D 同理∠ AOD 是△ ABO 的外角，∠ COD是△ BOC 的外角， 那么就有∠ AOD=2∠ ABO，∠ DOC=2∠ CBO，因此∠ AOC=2∠ ABC． （ 3）如圖，圓周角∠ ABC 的兩邊 AB、 AC 在一條直徑 OD 的同側(cè)，那么∠ ABC=12 ∠ AOC嗎？請同學(xué)們獨立完成證明． 老師點評：連結(jié) OA、 OC，連結(jié) BO 并延長交⊙ O 于 D，那么∠ AOD=2∠ ABD，∠ COD=2∠ CBO，而∠ ABC=∠ ABD∠ CBO=12 ∠ AOD12 ∠ COD=12 ∠ AOC 現(xiàn)在，我如果在畫一個任意的圓周角∠ AB′ C， 同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的． 從（ 1）、（ 2）、（ 3），我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． OBACDOBA CDww 14 OBACDww sx .co OBACDww 進一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)： 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角， 90176。的圓周角所對的弦是直徑． 下面，我 們通過這個定理和推論來解一些題目． 例 1．如圖， AB 是⊙ O 的直徑， BD 是⊙ O 的弦，延長 BD 到 C，使 AC=AB， BD與 CD 的大小有什么關(guān)系？為什么？ 分析： BD=CD，因為 AB=AC，所以這個△ ABC 是等腰，要證明 D 是 BC 的中點， 只要連結(jié) AD 證明 AD是高或是∠ BAC 的平分線即可． 解： BD=CD 理由是：如圖 2430，連