【正文】 ? ? ? ?11l n l nbbaaf x d x f x d xb a b a??? ???? ???? 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 16 證明 ：考慮到函數(shù) lnu 是凹函數(shù)， ??fx為 ? ?,ab 上的正連續(xù)函數(shù)．當(dāng)設(shè) ? ? 1px? ．根據(jù) Jensen不等式的積分形式立得： ? ? ? ?lnln bbaabbaaf x d x f x d xd x d x??????????? 整理可得 : ? ? ? ?11l n l nbbaaf x d x f x d xb a b a??? ???? ????． 例 2 若 ? ?0 , 0 , 1, 2 , ,iia p i n? ? ?，則 1111l n l nniinnii i i i iniiiipap a p a ap????????? 證明 ：設(shè) ? ? ? ?ln 0f x x x x??，因 ? ? 1 0fx x?? ??，故 ? ?fx是凸函數(shù)．由 Jensen不等式有： 1 1 11 1 1lnlnn n ni i i i i i ii i in n ni i ii i ip a p a p a ap p p? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? 兩邊同乘以1nii p??立得： 1111l n l nniinnii i i i iniiiipap a p a ap????????? Hadamard不等式 設(shè) ??fx是區(qū)間 ? ?,ab 上的凸函數(shù)，則對于 12a x x b? ? ? ，有 ? ? ? ? ? ?? ?2112 12211122xxxxf f x d x f x f xxx??? ? ? ??? ??? ? 證明 ：由于 ??fx是區(qū)間 ? ?,ab 上的凸函數(shù)，所以 ? ?21xx f xdx? 存在．且當(dāng)12 2,2xxxx????????時， 121 2 1 , 2xxx x x x ???? ? ? ????，故 ? ? ? ?? ?1 2 1 21212 2 2x x x x x xf f f x x x f x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 17 即 ： ? ? ? ? 1212 2xxf x x x f x f ???? ? ? ? ???? 又因 ： ? ? ? ? ? ?12221211 2 2xxxxxxf x d x f x d x f x d x????? ? ? 令 12x x x u? ? ? ，得： ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 2121122 1 2 1 22x x x x xxxxxf x d x f x x u d u f x x x d x???? ? ? ? ? ? ?? ? ? 故： ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 21 2 1 21 1 2 1 21 2 2 122 2 22x x xx x x xx x x x xf x d x f x x x f x d x f d x x x f?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? 從而： ? ?21122112 xxxxf f x d xxx??? ??? ??? ? 作變換 221xxt xx?? ? ，則有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21011 2 1 2 2 1 1 21011xx f x d x f t x t x x x d t x x f t x t x d t? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 122 1 1 2 2 10 1 2f x f xx x tf x t f x dt x x ?? ? ? ? ? ?????? 從而 ? ? ? ? ? ?? ?21 122111 2xx f x d x f x f xxx ??? ? 綜合以上可知： ? ? ? ? ? ?? ?2112 12211122xxxxf f x d x f x f xxx??? ? ? ??? ??? ? 凸函數(shù)在一般不等式 證明中的應(yīng)用 例 1 設(shè) a， b b， c為正數(shù)，且 1abc? ? ? ，證明 3abc? ? ? 證明 ：令 ? ?f x x?? ? ?0x? ．則 ? ?311 04fx x?? ? ? ?? ?0x? 因此， ? ?f x x?? 在 ? ?0x? 上是凸函數(shù)，則有 ? ? ? ? ? ?33f a f b f c abcf?? ????? ???? 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 18 即 33a b c a b c? ? ? ?? ? ? 故 1333abc? ? ? ? ? 例 2 證明不等式 ? ? 3a b c a b cabc a b c?? ? ，其中 a， b ， c 均為正數(shù)． 證明 ：設(shè) ? ? lnf x x x? ， 0x? ．由于 ??fx的一階和二階導(dǎo)數(shù) ? ? 1 lnf x x? ?? ， ? ? 1fxx?? ? 可見， ? ? lnf x x x? 在 0x? 時為嚴(yán)格凸函數(shù)，根據(jù) Jensen不等式有： ? ? ? ? ? ?33f a f b f cabcf ?????? ????? 從而 l n l n l nln3 3 3a b c a b c a a b b c c? ? ? ? ? ?? 即 3a b c a b cabc a b c?????? ????? 又因為 3 3abcabc ??? ，所以 ? ? 3a b c a b cabc b c?? ? ． 例 3 設(shè) 0,2x ????????，證明 ? ? ? ?1 c o s 2 1 c o s 2s i n c o s 2xxxx???? 證明 ：先將原不等式化為 ? ? ? ?22sin c os22si n c os 2xxxx??，因為 ? ? xf x x? 為 ? ?0,? 上的凸函數(shù)，故當(dāng) 0a? ， 0b? 時，有 ? ? ? ?22f a f babf ?????????令 2sinax? ， 2cosbx? 則 122 2s i n c o s 1 1 22 2 2 2 2a b x xf f f????? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 而 ? ? ? ? ? ? ? ?22s in c os22si n c os22 xxxxf a f b ?? ? 所以 ? ? ? ?22sin c os22si n c os 2xxxx?? 即 ? ? ? ?1 c o s 2 1 c o s 2s i n c o s 2xxxx????． 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 19 這道題目用初等知識比較困難，但通過構(gòu)造凸函數(shù) ? ? xf x x? 巧妙地令 2sinax? ，2cosbx? ，更可能方便的得證． 凸函數(shù)在經(jīng)典不等式證明中的應(yīng)用 在初等數(shù)學(xué)中，調(diào)和平均值不大于幾何平均值，幾何平均值不大于算數(shù)平均值，算術(shù)平均值不大于 均方根 平均值．而證明數(shù)學(xué)歸納法，其實，這些不等式可以在凸函數(shù)框架下統(tǒng)一證明． 注釋： 算術(shù)平 均值： 1 2 1nini xx x xxnn?? ? ???? 幾何平均值： 12 1nn nniix x x x x?? ? ? ? ? ? ? ?0ix? 均方根平均值： 2 2 22 1211 n niix x xxxnn?? ? ???? 調(diào)和平均值： 121 1 1nnxx x x? ? ? ? 例 1 設(shè) 0ia? ， i ? 1， 2 ， ， n，證明： 1212121 1 1 nn nna a an a a ana a a? ? ???? ? ? 證明 ：設(shè) ? ? lnf x x?? ， ? ? ?0,x??，有 ? ?21 0fx x?? ??，從而，函數(shù) ? ? lnf x x??在 ? ?0,? 是嚴(yán)格凸函數(shù)，取 ? ?0,iixa? ? ?， 1iq n? ， i ? 1， 2 ， ， n， 12 1nq q q? ? ? ? 有 1 2 1 2 lnl n l nln nnaaa a a an n n n n n??? ? ? ? ? ? ? ? ????? 即 1 1 1121 2 1 2l n l n l n l n l nn n n n nnnaaa a a a a a an n n ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ?? 即 1212 nn n aaaa a a n n n? ? ? ? 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 20 取 ? ?1 0,i ix a? ? ?， 1i q n?， i ? 1， 2 ， ， n， 12 1nq q q? ? ? ? 同樣方法，有 12121 1 1 n nnn a a aa a a?? ? ? 于是， ? nN?? ，有 1212121 1 1 nn nna a an a a ana a a? ? ???? ? ?． 例 2 證明 ? 1x ， 2x ， ， nx ? R? ， 1p? 有 11 2 1 2p p p pnnx x x x x xnn??? ? ? ? ? ?? ???? 上式稱為算術(shù)平均不大于 p ? ?1p? 次平均，特別地，當(dāng) 2p? 時，得到算術(shù)平均值不大于 均方根 平均值． 證明 ：考察函數(shù) ? ? pf x x? ? ?1p? ，由于有 ? ? ? ? 210pf x p p x ??? ? ? ?， 0x??，所以 ? ? pf x x? ? ?1p? 為凸函數(shù)． 從而 ? 1x ， 2x ， ， nx ? R? ， ? 1? ， 2? ， ， n? ? ?0,1? ，1 1nii ?? ?? 有 ? ?1 1 2 2 1 1 2 2p p p pn n n nx x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 在上式中，令12 1n n? ? ?? ? ? ? 即得 11 2 1 2p p p pnnx x x x x xnn??? ? ? ? ? ?? ???? 例 3 若 0a? ， 0b? ， 0p? ， 0q? ， 0?? 且 111pq??，求證： Young 不等式 pqqpabab pq???? 證明： 從所求證的不等式的形式來看，不容易直接找到合適的凸函數(shù)，因此，可對它進行一定的變形．不妨在不等式兩邊同取自然對數(shù)，則有 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 21 ? ?l n l n pqqpababp q?????????? 由此很容易找到合適的凸函數(shù)，考察函數(shù) ? ? lnf x x?? ? ?0x? ，因為? ? 21 0fx x?? ??．因此函數(shù) ??fx在 0x? 時為凸函數(shù)，又有 0p? ， 0q? ， 111pq??，