【正文】 ......................... 10 分析性質(zhì) ............................................................................................................. 12 其它性質(zhì) ............................................................................................................. 14 第 4章 凸函數(shù)的應(yīng)用 ..................................................................................................... 15 凸函數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用 ......................................................................... 15 凸函數(shù)基本不等式 ....................................................................................... 15 Jensen不等式 ................................................................................................ 15 Hadamard 不等式 .......................................................................................... 16 凸函數(shù)在一般不等式證明中的應(yīng)用 ........................................................... 17 凸函數(shù)在經(jīng)典不等式證明中的應(yīng)用 ........................................................... 19 凸函數(shù)在微分中的應(yīng)用 ..................................................................................... 21 凸函數(shù)在畫函數(shù)圖像上的應(yīng)用 ......................................................................... 23 利用凸函數(shù)畫函數(shù)圖像的基本步驟 ........................................................... 23 凸函數(shù)在畫函數(shù)圖像上的實(shí)例 ................................................................... 23 結(jié) 論 ................................................................................................................................. 26 參考文獻(xiàn) ............................................................................................................................. 27 致 謝 ................................................................................................................................. 28 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 1 第 1 章 緒論 凸函數(shù)研究的背景 在數(shù)學(xué)思想方法中，函數(shù)思想是很重要的一種思想方法，其 精髓在利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)討論的問題進(jìn)行推理和論證，進(jìn)行尋求解決問題的途徑．凸函數(shù)是一種性質(zhì)特殊的函數(shù)，也是函數(shù)中一種應(yīng)用比較廣泛的函數(shù)，自 21 世紀(jì)初建立凸函數(shù)理論以來，凸函數(shù)這一概念已在許多數(shù)學(xué)分支得到了廣泛應(yīng)用（例如在數(shù)學(xué)分析，函數(shù)論，泛函分析，最優(yōu)化理論等領(lǐng)域之中得到廣泛應(yīng)用并取得了較好效果）． 凸函數(shù)的概念最早見于 1905 年 Jenser 的著作中．它在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃、對(duì)策論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、變分學(xué)和最優(yōu)控制等學(xué)科的理論基礎(chǔ)和有力工具．在函數(shù)圖形的描繪和不等式 證明推導(dǎo)方面，凸函數(shù)也具有十分重要的作用． 凸函數(shù)研究的意義 凸函數(shù)的定義最早是由 Jenser 給出．自建立了凸函數(shù)理論以來，凸函數(shù)這一重要概念已在許多數(shù)學(xué)分支中得到了廣泛應(yīng)用．凸函數(shù)涉及了許多數(shù)學(xué)命題的討論證明和應(yīng)用．例如在數(shù)學(xué)分析、函數(shù)論、泛函分析、最優(yōu)化理論等當(dāng)中．應(yīng)用研究方面，凸函數(shù)作為一類特殊函數(shù)在現(xiàn)代優(yōu)化學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、管理學(xué)、和工程測(cè)繪學(xué)等多個(gè)學(xué)科有著重要的意義和很好的應(yīng)用．由于凸函數(shù)具有較好的幾何和代數(shù)性質(zhì)，在數(shù)學(xué)規(guī)劃中有著廣泛的應(yīng)用背景 ,一些常見的不等式都可以從函數(shù)的凸性中導(dǎo)出．?dāng)?shù)理經(jīng) 濟(jì)學(xué)中，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量，也可以表現(xiàn)為對(duì)效用函數(shù)凸性的選擇，所以研究凸函數(shù)的性質(zhì)就顯得十分必要了． 另外，由于凸函數(shù)理論的廣泛性，因此對(duì)于其理論的研究成果還有待進(jìn)一步的深入和推廣． 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 2 第 2 章 凸函數(shù)的定義及判定 大家都熟悉函數(shù) ? ? 2f x x? 的圖像，它的特點(diǎn)是：曲線 2yx? 上任意兩點(diǎn)間的弧總在這兩點(diǎn)連線的下方．我們可以下這樣的定義：設(shè) ??fx在 ? ?,ab 上有定義，若曲線? ?y f x? 在任意兩點(diǎn)間的弧總位于連接該兩點(diǎn)的直線之下，則稱函數(shù) ??fx是凸函數(shù)． 上面的定義只是幾何描述性的，為了便于凸函數(shù)的應(yīng)用，用嚴(yán)格的式子分析定義凸函數(shù)是十分必要的． 凸函數(shù)幾種常見定義： 定義 ：設(shè) ??fx為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)，若對(duì) I 上的任意兩點(diǎn) 1x 、 2x 和任意的 ? ?0,1?? 總有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 211f x x f x f x? ? ? ?? ? ? ? ? ??1 則稱 ??fx為 I 上的凸函數(shù)． 若把 ??1 式中的 “? ”變成 “? ”，則稱 ??fx為 I 上的凹函數(shù)． 定義 ：設(shè) ??fx在區(qū)間 I 上有定義，若 ? 1x ， 2x ? I ，總有 ? ? ? ?121222f x f xxxf ???? ????? ??2 則稱 ??fx為 I 上的凸函數(shù)． 例 指數(shù)函數(shù) ? ? xxa? ? ? ?0, 1aa??是 ? ?,???? 上的凸函數(shù)． 不難驗(yàn)證，恒正的函數(shù) ? ? xxa? ? ? ?0, 1aa??滿足關(guān)系式 : ? ? ? ?12 122xx xx? ? ???? ????? ， 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng) 12xx? 時(shí)，必有 ? ? ? ?12xx??? ，再由不等式正數(shù)的幾何平均值小于它們的算術(shù)平均值，則有 ? ? ? ? ? ? ? ?1212 2xxxx ???? ??綜合上述可得： 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 3 ? ? ? ?121222xxxx ??? ???? ????? 因此， ? ? xxa? ? ? ?0, 1aa??是 ? ?,???? 上的凸函數(shù)． 凸函數(shù)的幾何特征 Y 2A B 1A ??fx A 0 1x x 2x X 如上圖所示， 1A ， 2A 是凸函數(shù) ??fx上的兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為 ? ?? ?1 1 1,A x f x ， ? ?? ?2 2 2,A x f x 且 12xx? ， ? ?12,x x x? ， 那么存在 01???，使得 ? ?121x x x??? ? ? ，于是 ? ?? ?121f x x???? 是圖中的 A 點(diǎn)，而? ? ? ? ? ?121f x f x???? 是圖中的 B 點(diǎn)， B 點(diǎn)的位置在 A 點(diǎn)的上方，也就是 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 211f x x f x f x? ? ? ?? ? ? ? ?． 因此凸函數(shù)的幾何 意義就是，其函數(shù)上任意兩點(diǎn) ? ?? ?1 1 1,A x f x ， ? ?? ?2 2 2,A x f x 之間弧段 AB 位于弦 AB 的下方． 定義 ：設(shè) ??fx在區(qū)間 I 上有定義，若 ? 1x ， 2x ， ， nx ? I ? ?2n? ，總有 ? ? ? ? ? ?1212 nn f x f x f xx x xfnn ? ? ?? ? ??? ????? ??3 則稱 ??fx為 I 上的凸函數(shù)． 定義 ：設(shè)函數(shù) ??fx在區(qū)間 I 上有定義， ??fx稱為 I 上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：? 0i?? 且1 1nii ?? ?? ? ?1,2,in?， ? 1x ， 2x ， ， nx ? I 有 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 ? ?11nni i i iiif x f x????????????? ??4 定義 ： 設(shè)函數(shù) ??fx在區(qū)間 I 上有定義， ??fx稱為 I 上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：? 0ip? ? ?1,2,in? 不全為零， ? 1x ， 2x ， ， nx ? I ，有 ? ?1111nni i i iiinniiiip x p f xfpp????????????????? ??5 定義 ： 設(shè)函數(shù) ??fx在區(qū)間 I 上有定義， ??fx稱為 I 上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：? 1x ， 2x ， 3x ? I ，且 1 2 3x x x??，有 ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 3 12 1 3 1f x f x f x f xx x x x??? ??6 定義 ： 設(shè)函數(shù) ??fx在區(qū)間 I 上有定義， ??fx稱為 I 上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：? 1x ， 2x ， 3x ? I ，且 1 2 3x x x??，有 ? ?? ?? ?112233110121x f xx f xx f x? ??7 上述定義中的 “? ”若改成 “? ”，則稱 ??fx為區(qū)間 I 上的嚴(yán)格凸函數(shù)． 定義之間等價(jià)性的證明與探討 定理 ：定義 ． 證明 ： “定 義 ?定義 ”顯然成立，在 ??3 式中令 2n? 即得 ??2 式．只要證明“定義 ?定義 ”．采用反向歸納法． 1）由 ??2 式知：當(dāng) 2n? 時(shí) ??3 式成立．現(xiàn)證 4n? 時(shí) ??3 成立．事實(shí)上， ? 1x ， 2x ， nx ? I ，由 ??2 式有 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 341234121 2 3 4 22224 2 2xxxxxxxx ffx x x xff?? ???????? ?? ?? ????? ? ??? ?? ?????????? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 44f x f x f x f x? ? ?? 此即 ??3 式當(dāng) 4n? 時(shí)成立．一般地，對(duì)任意正整數(shù) k ，重復(fù)上面方法，應(yīng)用 ??2 式k 次，可知 ? ? ? ? ? ?1212 2222 kkkkf x f x f xx x xf ? ? ?? ? ??? ????? 這表明 ??3 式對(duì)一切 2kn? 皆成立． 2）（證明 ??3 式對(duì) 1nk??成立時(shí)