【正文】 xxxx ?? ?? )(lim)(lim 00, 且在 0x 某一空心鄰域 0 0( , )Ux?? 內(nèi) 有 ( ) ( ) ( )f x h x g x?? , 則 6 0lim ( )xxh x A? ?. 例 8 求 ??????? xxxx 1sinsin1lim 20. 解 : 當(dāng) 0?x 時(shí) , 有 2 2 21 1 1| sin sin | | sin |x x xx x x?? ??????, 從而 2110 | s in s in | | |xxxx????????, 由夾逼準(zhǔn)則得 2011lim | s in s in | 0x xxx? ???????, 所以 01s ins in1lim 20 ???????? xxxx. 注意 1 夾逼準(zhǔn)則多適用于所考慮的函數(shù)比較容易適度放大或縮小 , 而且放大和縮小的函數(shù)是容易求得相同的極限 . 基本思想是把要求解的極限轉(zhuǎn)化為求放大或縮小的函數(shù)或數(shù)列的極限 . 注意 2 利用夾逼準(zhǔn)則求函數(shù)極限的關(guān)鍵： （ 1）構(gòu)造函數(shù) )(xf , )(xh , 使 )(xf ? )(xg ? )(xh ； （ 2） Axhxfxxxx ?? ?? )(lim)(lim 00, 由此可得 Axgxx ?? )(lim0. 利用兩個(gè)重要極限求極限 兩個(gè)重要極限 :（ 1) 1sinlim0 ?? xxx； (2) ex xx ??????? ???11lim . 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 , 可將以上兩個(gè)公式針對(duì)遞推數(shù)列 , 必須驗(yàn)證數(shù)列兩個(gè)進(jìn)行推廣： (1) 1)( )(sinlim0 ?? xf xfxx ( )(,s in,0)(lim0 xfuuuyxfxx ???? )； (2) exgxgxx ????????? ??)()(11lim 0 ???????? ??????? ????? )(,11,)(lim 0 xguuyxguxx. 例 9 30 sintanlim x xxx ??求. 7 解 : ?????? ????? ?? xx xx xx xx xx c o s1c o s1s inlims inta nlim 2030 ??????????????? ? xxxxxx c o s12s in2s inlim220 211211 ???? 利用變量替換求極限 要點(diǎn)： 為了將未知的極限化簡，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來的極限過程，轉(zhuǎn)化為新的極限過程 . 例 10 若 limnx xa?? ?， limnx yb?? ?，試證 1 2 1 1l im n n nx x y x y x y abn??? ? ? ? ? 解 令 nnxa??? ， nnyb??? ，則 n?? 時(shí)， ,0nn??? .于是 1 2 1 1n n nx y x y x yn?? ? ? = 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n na b a b a bn? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 2 1 2nna b a bnn? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 1 2 1 1n n nn? ? ? ? ? ??? ? ?? . （ 1） 當(dāng) n?? 時(shí)第二、三項(xiàng)趨向零 .現(xiàn)證第四項(xiàng)極限亦為零 . 事實(shí)上，因 0n?? (當(dāng) n?? 時(shí) )，故 ??n? 有界，即 0M??，使得 n M? ? （ nN?? ），故 111 2 1 100 nnn n n Mnn ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? 從而（ 1）式以 ab 為極限 . 利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限 （適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限） 8 利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限主要應(yīng)用下列結(jié)果： (1)若 f(x)在 0x 處連續(xù)，則0xlim?x f(x)= f( 0x )； (2)若)(x 0lim???x x? （ x） =A， y=f(u)在 u=A 處連續(xù)則)(x 0lim???x xf[? (x)]=f(A)。（ 0? ， ? ? ， 0 ， ?1 ， 0? 型未定式可以轉(zhuǎn)化為“ 00 ”型和“ ?? ”未定式） 定理 4：若 （ i）0xlim?x f(x)=0，0xlim?xg（ x） =0 （ ii） f與 g在 0x 的某空心領(lǐng)域 )(xU 00 內(nèi)可導(dǎo)，且 g（ x）≠ 0 （ iii ）0xlim?x )()(xgxf =A （ A 可為實(shí)數(shù)，也可為177。39。 9 例 12[2] 求極限 11 cos0sinlim xxxx ???????? 解 11 c o s00si n 1 si nl i m l n l i m l n1 c osxxxxxx x x???? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 2002sinlnc o s sinl im l imsin2xxxx x xxxxx??????? ???????????? ? ?? ?0 3c o s s inlimxx x xx????? 20 sin 1lim 33x xxx? ?? ? ?. 故原式 = 13e? . 注意 (1)每次在使用 39。 (2)一旦用 39。L Hospital 法則只是充分條件，不是必要條件 . (3) ?? 型的 39。P U P D?? 時(shí)，都有 ? ?f P A ???， 則稱 f 在 D 上當(dāng) 0PP? 時(shí)，以 A 為極限，記作 ? ?0limPPPD f P A?? ??. ??1 在對(duì)于 PD? 不致產(chǎn)生誤解時(shí)，也可簡單記作 ? ?0limPPf P A? ? . ??1? 當(dāng) P ， 0P 分別用坐標(biāo) ? ?,xy ， ? ?00,xy 表示時(shí)， ??1? 式也常寫作 ? ? ? ? ? ?00,lim ,x y x y f x y A? ?. ??1?? 二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極 限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的 , 兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別． 在極限運(yùn)算法則上 , 它們是一致的 , 但隨著變量個(gè)數(shù)的增加 , 二元函數(shù)極限變得更加復(fù)雜 , 它實(shí)質(zhì)上是包含任意方向的逼近過程 , 是一個(gè)較為復(fù)雜的極限 , 對(duì)于二元函數(shù) ( , )f xy 的二重極限 , 其重點(diǎn)是研究極限的存在性以及具體的求解方法． 其中 , 求解方法非常多樣 , 靈活性和隨機(jī)性很強(qiáng) , 我在這里總結(jié)了幾種具有代表性的求解方法 . 引例 求 2222( , ) (0,0)lim .xy xyxy? ? 原解法 因?yàn)?2 2 2 222 2| | | | | |,( ) 1x y x xxxy y??? ?對(duì) ? ? 0? , 取 0????, 當(dāng) x? ? , y? ? , 且 ( ,xy)? (0,0)時(shí) , 有22220xyxy??? 2x 2 ??? , 由極限的定義得 2222( , ) ( 0 ,0 )lim 0xy xyxy? ??. 新解法：令 cossinxryr????? ??當(dāng)（ ,xy)?(0,0)有 0r ?? , 16 22 2 2 222 c o s s in ,xy rxy ????因?yàn)?22| co s sin | 1???, 所以 2222( , ) (0,0 )limxy xyxy? ?? 2 2 20lim c o s s in 0 .r r ???? ? 兩者相對(duì)比 , 我們就會(huì)發(fā)現(xiàn) , 此例用極坐標(biāo)代換求極限比用定義求解簡單的多 , 那么 , 選擇一個(gè)正確的解題方法就顯得尤為重要了． 下面 , 我會(huì)對(duì)各類方法進(jìn)行探索 . 二元函數(shù)極限的若干求法 利用定義求極限 例 26 討論 ? ? 322, xyf x y xy? ?，在 ? ?0,0 的極限 . 解 令 y mx? ? ?3 4 22 2 2220 0 0l im l im l im 011x x xy m x y m xx y m x m xx y mxm? ? ??? ? ? ???? 以為此路徑為特殊路徑，故不能說明 32200lim 0xyxyxy?? ??. 再利用定義判定： 0???，取 2??? ，當(dāng) ? ? ? ?220 0 0xy ?? ? ? ? ?時(shí)，有 2 2 2 2x x y ?? ? ? , 由于 33 222 10 22x y x y xx y xy? ? ??, 即有： 3 22