【導(dǎo)讀】關(guān)于凸函數(shù)的研究西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）。本文由凸函數(shù)的定義出發(fā)，研究了凸函數(shù)的判定方法及其應(yīng)用，得到了凸函數(shù)的。許多重要性質(zhì)，給出了凸函數(shù)的幾個(gè)著名不等式（其中包括Jensen不等式、Hadamard. 不等式以及一些初級(jí)不等式）及其應(yīng)用，并討論了凸函數(shù)在微分以及畫(huà)函數(shù)圖像中的

　　

【正文】 （論文） 19 這道題目用初等知識(shí)比較困難，但通過(guò)構(gòu)造凸函數(shù) ? ? xf x x? 巧妙地令 2sinax? ，2cosbx? ，更可能方便的得證． 凸函數(shù)在經(jīng)典不等式證明中的應(yīng)用 在初等數(shù)學(xué)中，調(diào)和平均值不大于幾何平均值，幾何平均值不大于算數(shù)平均值，算術(shù)平均值不大于 均方根 平均值．而證明數(shù)學(xué)歸納法，其實(shí)，這些不等式可以在凸函數(shù)框架下統(tǒng)一證明． 注釋： 算術(shù)平 均值： 1 2 1nini xx x xxnn?? ? ???? 幾何平均值： 12 1nn nniix x x x x?? ? ? ? ? ? ? ?0ix? 均方根平均值： 2 2 22 1211 n niix x xxxnn?? ? ???? 調(diào)和平均值： 121 1 1nnxx x x? ? ? ? 例 1 設(shè) 0ia? ， i ? 1， 2 ， ， n，證明： 1212121 1 1 nn nna a an a a ana a a? ? ???? ? ? 證明 ：設(shè) ? ? lnf x x?? ， ? ? ?0,x??，有 ? ?21 0fx x?? ??，從而，函數(shù) ? ? lnf x x??在 ? ?0,? 是嚴(yán)格凸函數(shù)，取 ? ?0,iixa? ? ?， 1iq n? ， i ? 1， 2 ， ， n， 12 1nq q q? ? ? ? 有 1 2 1 2 lnl n l nln nnaaa a a an n n n n n??? ? ? ? ? ? ? ? ????? 即 1 1 1121 2 1 2l n l n l n l n l nn n n n nnnaaa a a a a a an n n ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ?? 即 1212 nn n aaaa a a n n n? ? ? ? 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 20 取 ? ?1 0,i ix a? ? ?， 1i q n?， i ? 1， 2 ， ， n， 12 1nq q q? ? ? ? 同樣方法，有 12121 1 1 n nnn a a aa a a?? ? ? 于是， ? nN?? ，有 1212121 1 1 nn nna a an a a ana a a? ? ???? ? ?． 例 2 證明 ? 1x ， 2x ， ， nx ? R? ， 1p? 有 11 2 1 2p p p pnnx x x x x xnn??? ? ? ? ? ?? ???? 上式稱為算術(shù)平均不大于 p ? ?1p? 次平均，特別地，當(dāng) 2p? 時(shí)，得到算術(shù)平均值不大于 均方根 平均值． 證明 ：考察函數(shù) ? ? pf x x? ? ?1p? ，由于有 ? ? ? ? 210pf x p p x ??? ? ? ?， 0x??，所以 ? ? pf x x? ? ?1p? 為凸函數(shù)． 從而 ? 1x ， 2x ， ， nx ? R? ， ? 1? ， 2? ， ， n? ? ?0,1? ，1 1nii ?? ?? 有 ? ?1 1 2 2 1 1 2 2p p p pn n n nx x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 在上式中，令12 1n n? ? ?? ? ? ? 即得 11 2 1 2p p p pnnx x x x x xnn??? ? ? ? ? ?? ???? 例 3 若 0a? ， 0b? ， 0p? ， 0q? ， 0?? 且 111pq??，求證： Young 不等式 pqqpabab pq???? 證明： 從所求證的不等式的形式來(lái)看，不容易直接找到合適的凸函數(shù)，因此，可對(duì)它進(jìn)行一定的變形．不妨在不等式兩邊同取自然對(duì)數(shù)，則有 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 21 ? ?l n l n pqqpababp q?????????? 由此很容易找到合適的凸函數(shù)，考察函數(shù) ? ? lnf x x?? ? ?0x? ，因?yàn)? ? 21 0fx x?? ??．因此函數(shù) ??fx在 0x? 時(shí)為凸函數(shù)，又有 0p? ， 0q? ， 111pq??，所以 ? ?1 1 1 111l n l n l n l n l n l npqpqp p p pqpab a b a b abp p qq? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? 于是 ? ?l n l n pqqpababp q?????????? 即 pqqpabab pq???? 特別地，當(dāng) 1?? ， 2pq??時(shí)，此不等式就是前面例 1 的結(jié)果，即平均值不等式． 凸函數(shù)在微分中的應(yīng)用 我們討論了凸函數(shù)的有界性，左右函數(shù)極限和 Lipschitz性質(zhì)． 例 1 設(shè)函數(shù) ??fx在區(qū)間 I 上為凸函數(shù)，試證： ??fx在 I 上任一閉子區(qū)間上有界． 證明 : 設(shè) ? ?,ab I? 為任一閉子區(qū)間： 1）（證明 ??fx在 ? ?,ab 上有上界） ? ?,x ab?? ，取 ? ?0,1xaba? ???? ， ? ?1x b a??? ? ? 因 ??fx為凸函數(shù)，所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1f x f b a f b f a M M M? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 其中 ? ? ? ?? ?m a x ,M f a f b? ，故在 ? ?,ab 上有上界 M ． 2）（證明 ??fx在 ? ?,ab 上有下界）記 2abc ?? 為 ,ab的中點(diǎn)，則 ? ?,x ab?? ，有關(guān)關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 22 于 c的對(duì)稱點(diǎn) x? ，因 ??fx為凸函數(shù)，所以 ? ? ? ? ? ? ? ?112 2 2f x f xf c f x M??? ? ? 從而 ? ? ? ?2f x f c M m? ? ?， 即 m為 ??fx在 ? ?,ab 上的下界． 例 2 設(shè)函數(shù) ??fx為區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)的凸函數(shù)，試證： ??fx在 I 上的任一內(nèi)區(qū)間? ? ? ?,ab??? 上滿足 Lipschitz條件． 證明 ：要證明 ??fx在區(qū)間 ? ?,?? 上滿足 Lipschitz 條件，即要證明： 0L??，使得 ? ?12,xx ???? 有 ? ? ? ?1 2 1 2f x f x L x x? ? ? ??1 因?yàn)?? ? ? ?,ab??? ，故可取 0h? 充分小，使得 ? ? ? ?,h h a b??? ? ?與此? ?12,xx ???? ，若 12xx? ，取 32x x h?? ． 由 凸 性 ，? ? ? ? ? ? ? ?2 1 3 22 1 3 2f x f x f x f x Mmx x x x h?? ???（其中 ,Mm分別表示 ??fx在 ? ?,hh????上的上下界 ），從而 ? ? ? ?2 1 2 1Mmf x f x x xh?? ? ? ??2 若 12xx? ，可取 32x x h??，由 ??fx的凸性，有 ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 1 22 3 1 2f x f x f x f xx x x x???，從而 ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 3 22 1 3 2f x f x f x f x Mmx x x x h?? ???由此可得 ??2 成立． 若 12xx? ，則 ??2 式明顯成立，這就證明了 ??2 式對(duì)一切 ? ?12,xx ??? 皆成立，因此 ??2 式當(dāng) 1x 與 2x 互換位置也成立，故有 ? ? ? ?2 1 2 1Mmf x f x x xh?? ? ?，令MmL h?? ，則 ??1 式也獲證． 例 3 設(shè)函數(shù) ??fx為區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)的凸函數(shù)，并且有界，試證極限 ? ?limxafx??與? ?limxbfx?? 存在． 證明 ：設(shè) ? ?,x ab? 時(shí) ? ?f x M? ， 10x x x??為 ? ?,ab 內(nèi)的任意三點(diǎn)，根據(jù) ??fx的凸性，當(dāng) x 遞增時(shí) ? ? ? ?00f x f xxx?? 也遞增．又因?yàn)? 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 23 ? ? ? ? ? ?000 1 0f x f x M f xx x x x???? ?10x x x? ? ? ． 根據(jù)單調(diào)有界原理，有極限 ? ? ? ?00 0l i mxbf x f x Axx??? ?? ． 從而 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?00 0 0 00l im l imx b x b f x f xf x x x f x A b x f xxx???? ???? ? ? ? ? ??? ???亦存在．類似 可證 ? ?limxafx??的存在． 凸函數(shù)在畫(huà)函數(shù)圖像上的應(yīng)用 利用凸函數(shù)畫(huà)函數(shù)圖像的基本步驟 1）、考察 ? ?y f x? 自身： ??1 確定定義域，討論其大范圍特性（奇偶、對(duì)稱與周期性）． ??2 尋求 ??fx的零點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)以及漸近線． 2）、考察 ??fx? 和 ??fx?? ： ??1 尋求穩(wěn)定點(diǎn) ? ?? ?0fx? ? 以及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，判定 ??fx? 的符號(hào)，用以確定??fx的增減區(qū)間與極值點(diǎn)（同時(shí)計(jì)算極值）． ??2 尋求 ??fx?? 的零點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，判定 ??fx?? 的符號(hào)，用以確定 ??fx圖形的凸性區(qū)域和拐點(diǎn)． 3）、列表并畫(huà)圖． 凸函數(shù)在畫(huà)函數(shù)圖像上的實(shí)例 例 1 作曲線 ? ?211fx xx??的圖形． 解 ： 1）因 ? ?21 xfx x??在 0x? 處無(wú)定義，且有 ? ? ? ?200 1l im l im , l im 0x x xxf x f xx? ? ? ? ??? ? ? ? ? 即直線 0x? 是該曲線的垂直漸近線，直線 0y? 是該曲線的水平漸近線：且??10f ? ． 關(guān)于凸函數(shù)的研究 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 24 2）令 ? ? ? ?342 6 20 , 0xxf x f x??? ??? ? ? ?，有 2, 3xx??及 0x? 使導(dǎo)數(shù)無(wú)意義． 3）列表、畫(huà)圖 ? ?,o?? ? ?0,1 1 ? ?1,2 2 ? ?2,3 3 ? ?3,?? ??fx? + 0 + + + ??fx?? + + + + + + 0 ??fx 0 14? 29? Y X 曲線 ? ?211fx xx??的圖形 例 2 作由方程 33cossinx a ty a t? ?? ?? ? ?0a?或 2 2 23 3 3x y a??給出的曲線圖形． 解 ： 1）考察函數(shù)本身，可知它具有周期性，周期為 2? ．從而只需討論 t 從 0 變到 2? 即可．此時(shí) ,xy的取值范圍為 ? ?,aa? 且有： 0t? 時(shí) ,0x a y??； 2t ?? 時(shí)0,x y a??； t ?? 時(shí) ,0x a y?? ? ； 32t ?? 時(shí) 0,x y a? ?? ；曲線無(wú)漸近線． 2）對(duì)其求一階、二階導(dǎo)數(shù)得： 2241ta n , 3 si ndy d ytdx dx asos t t? ? ? 在 0, ,2t ??? 時(shí)， 0dydx? 且有322lim , limttdy dydx