二階常微分方程的解法及其應(yīng)用本科畢業(yè)論文-文庫吧資料
2024-09-02 17:40本頁面
【正文】 限性 ,它要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程，以及提供控制系統(tǒng)調(diào)整的可能性。在經(jīng)典控制理論中，對 控制系統(tǒng) 的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。有些情形下一個(gè)實(shí)變量函數(shù)在實(shí)數(shù)域中進(jìn)行一些運(yùn)算并不容易，但若將實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得 實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往在計(jì)算上容易得多。()ct的一階線性微分方程 ,其一個(gè)特解為 ? ?( 2 ) ( )( ) ( )p t p tc t e e f t d t d t??? ? ???? ????, 從而得上面方程的一個(gè)特解為 * ( 2 ) ( )( ( ) )t p t p tx e e e f t d t d t? ? ?? ? ???? ????. 若 ? 為上面方程的復(fù)根 ,我們可以設(shè) ,a bi a b R? ? ? ?且 0b? ，則* sinatx e bt? 是方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的解，根據(jù)常數(shù)變易法可設(shè)其一個(gè)特解為 * ( ) sinatx c t e bt? ，與情形 1 的解法類似得方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的一個(gè)特解為 ( 2 ) ( 2 )*2( ) s i ns i n .s i np a p a tat e f t e b td tx e b t d tbt? ? ?? ?? 由于 *x 是特解 ,則積分常量可以都取零 . 拉普拉斯變換法 拉普拉斯變換 法 是 工程數(shù)學(xué) 中常用的一種 積分變換 法 ，又名拉氏轉(zhuǎn)換 法 。 對于二階常系數(shù)非線性常微分方程的解法 ,只要先求出其一個(gè)特解 ,再運(yùn)用特征方程法求得方程的通解 . 求常微分方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的通 解 . 解 方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?對應(yīng)齊次方程為 22 0d x dxp qxdt dt? ? ?, 其特征方程為 02 ??? qp?? . 由于方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的通解等于其對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解與其自身的一個(gè)特解之和，而二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解我們已經(jīng)研究過了 ,所以此處只需求出其一個(gè)特解 . 若 ? 為上面方程的實(shí)根 ,則 txe?? 是方程 22 0d x dxp qxdt dt? ? ?的解 .由常數(shù)變易法設(shè) 22 ()d x dxp qx f tdt dt? ? ?的一個(gè)解為 * ()tx c t e?? ,代入原方程并化簡得 39。它是拉格朗日十一年的研究成果，我們所用僅是他的結(jié)論，并無過程 。 ( 1 )1 1 1( ) ( ) ( ) 0 ,kF F F? ? ??? ? ? ?() 1( ) 0kF ? ? , 先設(shè) 1 0?? ,即特征方程有因子 k? ,于是 11 0n n n ka a a? ? ?? ? ? ?, 也就是特征方程的形狀為 11 0n n knkaa? ? ?? ?? ? ? ?, 而對應(yīng)的方程 ? ? 1111 0nnnnd x d xL x a a a xd t d t???? ? ? ? ? ?變?yōu)? 11 1 0n n knkn n kd y d y d yaad x d x d x???? ? ? ?. 易 見它有 k 個(gè)解 1, 21, , , kt t t ? ,而且它們是線性無關(guān)的 .這樣一來 ,特征方程的k 重零根就對應(yīng)方程 的 k 個(gè)線性無關(guān)的解 1, 21, , , kt t t ? .如果這個(gè) k 重根 1 0?? ,我們作變量變換 1tx ye?? ,注意到 11( ) ( ) ( ) ( 1 ) 2 ( 2 )1 1 1( 1 )() 2!ttm m m m m mmmx y e e y m y y y?? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ?????， 可得 ? ?1 1 11111()nnt t tnnnd y d yL y e b b y e L y ed t d t? ? ?? ??? ? ? ? ? ???, 于是對應(yīng)方程 化為 ? ? 111 1 0nnnd y d yL y b b yd t d t??? ? ? ? ?, 其中 1 2 3, , , , nb b b b 仍為常數(shù) ,而相應(yīng)的特征方程為 111( ) 0nn nnG b b b? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?, 直接計(jì)算易得 1 1 1 1( ) ( ) ( )11( ) ( )tt t t tF e L e L e e G e? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ??? ??? ? ? ?????, 因此 1( ) ( )FG? ? ??? , 從而 1( ) ( )jjFG? ? ??? ， 1,2, ,jk? , 這樣 ,問 題就化為前面討論過的情形了 . 常數(shù)變易法 常數(shù)變易法是求解微分方程的一種很重要的方法 ,常應(yīng)用于一階線性微分方程的求解。 特征方程法 所謂特征方程，實(shí)際上就是為研究相應(yīng)的數(shù)學(xué)對象而引入的一些等式，它因研究 對象 的 不同而不同，包括數(shù)列特征方程，矩陣特征方程， 微分方程特征方程，積分方程特征方程等等 。而本文正是在這一背景下對于二階常系數(shù)常微分方程的解法和應(yīng)用做出研究。二階常系數(shù)常微分方程在常微分方程理論中占有重要地位，在工程技術(shù)及力學(xué)和物理學(xué)中都有十分廣泛的應(yīng)用。常微分方程已有悠久的歷史，而且繼續(xù)保持著進(jìn)一步發(fā)展的活力，主要原因是它的根源深扎在各種實(shí)際問題之中。 Laplasse transform 1 引言 數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們， 300年來數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)的首要分支，而微分方程又是數(shù)學(xué)分析的心臟，它還是數(shù)學(xué)分析里大部分思想和理論的根源。 Characteristic an
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