常微分畢業(yè)論文-一階微分方程最基本兩種類型-文庫(kù)吧資料
2025-06-11 12:01本頁(yè)面
【正文】 on method. Many firstorder differential equation by means of variable transformation can be translated into the basic types of equations solved. Once again introduces appropriate differential equation and solution formula by integral factor method, can be some differential equation into appropriate differential equation and solved. Finally based on some special types of firstorder differential equation introduces new, the reduced order method, parameters method. 【 KEYWORDS】 firstorder differential equation variable transformation method the integral factor method 2 一階微分方程的初等解法，即把微分方程的求解問(wèn)題化為積分問(wèn)題，其解的表達(dá)式由初等函數(shù)或超越函數(shù)表示 .現(xiàn)在先簡(jiǎn)要介紹一下一階微分方程的一些基本類型及其基本解法： ⑴可分離 變量的微分方程 ：形如 ( ) ( )dy f x g ydx ??,其中 )(),( ygxf 為連續(xù)函數(shù) 解法 ： ① 分離變量 ,即dxxfygdy )()( ? ② 兩邊積分 ,即可求得通解， ? ? ?? Cdxxfygdy )()( ③化簡(jiǎn) ,整理 ,即可 . 可以說(shuō)只要是可分離變量的微分方程 ,都可求解 . 例 1 求解方程 ()dy y c dxdx x a by??? ?, 0,0 ?? yx . 解： 方程可變量分離為 ( ) ( )cad dx b dyxy? ? ? ? 積分得 ln lnc x d x a y b y k? ? ? ? ?這里 k 為任意常數(shù) , 上式可化為 c dx a byx e y e k????,其中 kke? . 因方程還有特解 0y? ,并考慮到條件 0,0 ?? yx , 于是方程的通解為 ,0c dx a byx e y e k k?? ??. ⑵一階線性非齊次微分方程 )()( xQyxPdxdy ?? 解法： 方程的通解公式： y=C(x) =[ +C] （常數(shù)變易法） ⑶恰當(dāng)微分方程 ( , ) ( , ) ( , ) uuM x y d x N x y d y d u x y d x yxy??? ? ? ? ? 解法： 方程的通解為 ( , ) [ ( , ) ]M x y d x N M x y d x d y cy?? ? ? ? ? ??,c 為任意常數(shù) 3 ⑷里卡蒂方程 2( ) ( ) ( )dy P x y Q x y R xdx ? ? ? 解法： 當(dāng)能夠找到方程的一個(gè)特解 ()yx? ,在經(jīng)過(guò)變換 y z y??? 后方程就變?yōu)椴匠?,因而可解 . 一階微分方程解法主要有 變量 變換 法 ,積分因子法兩種基本解法 . 我們知道微分方程有很多形式 ,但最簡(jiǎn)單的一種就是變量分離方程 ,它可以用初等積分法求解 .而碰到其它的類型 ,我們最常用的技巧就是用變量變換來(lái)改變方程的形狀 ,讓它轉(zhuǎn)化為我們能求解的類型 ,這種方法稱為變量變換法 . 齊次微分方程 形如 ()dy ygdx x? ， )(xg 為連續(xù)函數(shù) . 解法：令 xyu? , 即 uxy? . 于是 ,有 dxduxudxdy ?? 代入 )(xygdxdy? ,便得方程 )(ugdxduxu ?? 即 uugdxdux ?? )( 分離變量 ,得xdxuug du ??)(,兩邊積分 ,得 ? ??? xdxuug du)( 求出積分后 ,再用 xy 代 u ,便得所給方程的通解 . 齊次微分方程可看作一個(gè)基本類型 ,只要能判斷這個(gè)方程是齊次微分方程 ,就可利用上述變換將方程變換為可分離變量的微分方程 ,進(jìn) 而得到解決 . 例 2 求 微分 方程 dxdyxydxdyxy ?? 22 的通解 . 解 :原方程可化為1)( 222????xyxyxxyydxdy = )(xyg ,這是一個(gè)齊次微分方程 , 故可 令 uxy? ,即 uxy? .則 dxduxudxdy ?? 于是方程變?yōu)?12??? uudxduxu 4 這是一個(gè)可分離變量的微分方程 ,分離變量得 xdxduu ?? )11(, 兩邊積分 ,得 xCuu lnln ??? , 以 uxy?代入 ,得所給方程的通解為 Cxyy ??ln. 為齊 次 方程的方程 方程 1 1 12 2 2a x b y cdydx a x b y c??? ,分以下三種情況進(jìn)行求解 : ①當(dāng) 12,0cc? 時(shí) ,可化為齊次方程求解 . ②當(dāng) 12,cc不全為零時(shí) ,但 11220abab? ? ? ,即 212121 cckbbaa ??? ,我們令ybxau 22 ?? ,可將方程化為212222 cu ck
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