【正文】 qy y hf x yy y hf x h yy y y??? ????? ? ???? ???? 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學江淮學院 07 計算機 (1)班 10 改進 Euler 法是二階方法。 如果實際計算時精度要求不太高，用公式（ ）求解時，每步可以只迭代一次，由此導出一種新的方法 — 改進 Euler 法。因此，當 012hL??時，迭代收斂。梯形公式為二階方法。 改進的 Euler 方法 梯形公式 利用數(shù)值積分方法將微分方程離散化時，若用梯形公式計算式 ()中之右端積分，即 ? ?111( , ( ) ) ( , ( ) ) ( , ( ) )2nnx n n n nx hf x y x d x f x y x f x y x? ????? 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學江淮學院 07 計算機 (1)班 9 這就是求解初值問題（ ）的梯形公式。顯然 p 越大，方法的精度越高。 假定用（ ）式時右端的 ny 沒有誤差，即 ()nny y x? ，那么由此算出 1 ( ) ( , ( ) ) ( )n n n ny y x hf x y x? ?? 局部截斷誤差指的是，按（ 3,3）式計算由 nx 到 1nx? 這一步的計算值 1ny? 與精確值1()nyx? 之差 11()nny x y??? 。向前 Euler 公式是顯式的，可直接求解。 如果在微分方程離散化時，用向后差商代替導數(shù)，即 11 ( ) ( )() nnn y x y xyx h?? ?? ?，則得計算公式 1 1 10( , ) ( 0 , 1 , ) ( 3 . 1 )()n n n ny y h f x y ny y a? ? ?? ? ??? ?? 用這組公式求問題（ ）的數(shù)值解稱為向后 Euler 公式。 變量 a,b,x0,y0 用于表示求解區(qū)間的左右端點和給定的初始點； 函數(shù) exact_value() 用于求解問題的精確解； 函數(shù) cal_error() 用于計算各離散點的截斷誤差； 函數(shù) showtable() 用于在屏幕上顯示計算結(jié)果； 第三章 歐拉（ Euler）方法 Euler方法 思想 Euler 方法就是用差分方程初值問題（ ）的解來近似微分方程初值問題（ ）的解，即由公式 （ ） 依次算出 ()nyx 的近似值 ( 1, 2, )nyn?? 。 } 對程序中的諸名稱解釋如下： 符號常量 MAX 表示允許取的離散點的個數(shù)的最大值，用于初始化數(shù)組； 變量 real 表示實際取的離散點的個數(shù)； 數(shù)組 X , Y , F 用于存放各 ix , iy , ( , )iif x y , 0,1, 2,..., 。 i++) printf (=)。 for(i=0。 printf(%%%%%,X[i],F[i], Y[i],CY[i],E[i])。 i=real。 i++) printf()。 for(i=0。 printf(\n)。 i=78。 printf (\n)。 } return。 i++) { CY[i] = exact_value( X[i] )。 for(i=0。 } double exact_value (double x) //計算各離散點解析解以測數(shù)值解精度 { return sqrt( *x + ) 。 double X [MAX], Y [MAX], Z[MAX], F[MAX], G[MAX], CY[MAX], E[MAX]。 編程風格 : 按照常微分方程數(shù)值解三個基本步驟 ： 將問題離散 化；建立遞推格式；按步進法計算， 所以求微分方程的數(shù)值解的算法框架都是 相同的，不同 的是所使用的遞推形式不同，則 可以用公共子程序來代替，對不同的方法的計算結(jié)果用統(tǒng)一的格式來顯示，同時也可以比較不同方法的精確度 [4]。其中的 Taylor 展開法，不僅可以得到求數(shù)值解的公式，而且容易估計截斷誤差 。例如，對微分方程兩端積分，得 11( ) ( ) ( , ( ) ) ( 0 , 1 , ) ( 1 . 8 )nnxnn xy x y x f x y x d x n?? ? ? ?? 右邊的積分用矩形公式或梯形公式計算。 需要說明的是，用不同的差商近似導數(shù)，將得到不同的計算公式。 建立數(shù)值解法，首先要將微分方程離散化，一般采用以下幾種方法： （ i）用差商近似導數(shù) 若用向前差商 1( ) ( )nny x y xh? ? 代替 ()nyx? 代入（ ）中的微分方程，則得 1( ) ( ) ( , ( ) ) ( 0 , 1 , )nnnny x y x f x y x nh? ? ?? 化簡得 1( ) ( ) ( , ( ) )n n n ny x y x h f x y x? ?? 如果用 ()nyx 的近似值 ny 代入上式右端，所得結(jié)果作為 1()nyx? 的近似值，記為1ny? ， 則有 1 ( , ) ( 0 , 1 , ) ( )n n n ny y hf x y n? ? ? ? 這樣，問題（ ）的近似值可通過求解下述問題 10( , ) ( 0 , 1 , ) ( 1 . 7 )()n n n ny y h f x y ny y a? ? ? ??? ?? 得到，按式（ ）由初值 0y 可逐次算出 12,yy 。 所謂數(shù)值解法，就是求問題（ ）的解 y(x) 在若干點 0 1 2 Na x x x x b? ? ? ? ? ? 處的近似值 ( 1, 2 , )ny n N? 的方法， ( 1, 2, , )ny n N?? 稱為問題（ ）的數(shù)值解， 1n n nh x x???稱為由 nx 到 1nx? 的步長。 數(shù)值求解微分方程的方法基于有限維近似，這個過程稱為離散化，我們將用代數(shù)方程代替微分方程，用代數(shù)方程的解近似微分方程的解，對初值問題來說，近似解的值是在求解區(qū)間上一步步地產(chǎn)生的，因此求解常微分方程的數(shù)值方法也稱為離散變量法，在由一個離散點的值計算下一個點的值時，一般會產(chǎn)生一定的誤差，這樣新的近似解將落在常微分方程的另一個解上，而這個解與開始所求的解是不同的，解的穩(wěn)定 性決定了這類誤差將隨時間的增大而放大或縮小。 1 e e 39。yxy nn ， 個初值條件：階微分方程需給出一般地，對于 ?常微分方程的高精度求解方法 安徽大學江淮學院 07 計算機 (1)班 3 ，得 ，分別求一階及二階導數(shù)將函數(shù) xxxxCCy39。yxyyyxxxx??????.)(,)( )( )1(00)1(0000 ?? ??? nn yxyy39。y39。yxy39。 微分方程的基本概念 微分方程及微分方程的階 含未知函數(shù)的導數(shù) (或微分 )的方程稱為微分方程； 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程 ； 未知函數(shù)是多元函數(shù)的 微分方程，稱為偏微分方 ； 2d 3 d ( )y x x? ， 2 2d ( )d s gt ? ()和 ()式均是微分方程 . 微分方程中未知函數(shù)的導數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階 . 微分方程 ()是一階的，微分方程 ()是二階的 . 微分方程的解、通解與特解 能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解 . 例如 3y x c??和 3y x 1??都是 3dy 3xdx? 的解 . 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學江淮學院 07 計算機 (1)班 2 又如 21 212 CtCgts ???和 212s gt?都是 22dds gt ?的解 . 如果微分方程的解中含任意常數(shù) ,且獨立的 (即不可合并而使個數(shù)減少的 )任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解為微分方程的通解 . 不包含任意常數(shù)的解為微分方程特解 . 微分方程的初值條件及其提法 用以確定微分方程解中任意常數(shù)的特定條件，稱為微分方程的初值條件 . 初值條件的提法 ： 當 x=x0 時， y=y0， 微分方程的解的幾何意義 . 微分方程的解的圖形稱為微分方程的積分曲線 .通解的圖形是一族積分曲線，稱為微分方程的積分曲線族 .微分方程的某個特解的圖形就是積分曲線族中滿足給定初值條件的某一特定的積分曲線 . 221 2 1 200e e ( ) 4 0 ( ) 0 , 1 ( xxxxy C C C Cy yy y 39。 再如傳染病傳染問題（人口增長模型問題）也要用到微分方程的知識。同樣，一塊冷的物體，其溫度上升的速度是與他自身溫度同外界溫度的差值成正比。 案例：一次謀殺案，在某天下午四點發(fā)現(xiàn)尸體，尸體的體溫為 30℃，假設當時屋內(nèi)空間的溫度保護 20℃不變，現(xiàn)判斷謀殺是何時發(fā)生的？ 解決此問題首先必須要從尸體溫度的變化尋求關系式，這就需要知道物理學中的加熱與冷卻規(guī)律。 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學江淮學院 07 計算機 (1)班 III 目 錄 第一章 前 言 .................................................. 1 案例引入微分方程概念 .................................... 1 微分方程的基本概念 ...................................... 1 微分方程及微分方程的階 ............................. 1 微分方程的解、通解與特解 ............................ 1 微分方程的初值條件及其提法 .......................... 2 微分方程的解的幾何意義 .............................. 2 從解析方法到數(shù)值方法概述 ................................. 3 常溫分方程的離散化 ...................................... 4 第二章 數(shù)值解法公共程序模塊分析 ................................. 5 第三章 歐拉（ Euler）方法 ....................................... 7 Euler 方法思想 .......................................... 7 Euler 方法的誤差估計 .................................... 8 改進的 Euler 方法 ........................................ 8 梯形公式 .......................................... 8 改進 Euler 法 ....................................... 9 第四章 休恩方法 .............................................. 10 休恩方法思想 .......................................... 10 休恩方法的步長和誤差 ................................... 10 第五章 泰勒級數(shù)法 ............................................ 11 泰勒定理 .............................................. 11 N 次泰勒方法 ........................................... 12 第六章 龍格 庫塔（ Runge— Kutta 法） ............................ 13 龍格 庫塔（ Runge— Kutta）方法基本思想 .................... 13 階龍格 庫塔（