常微分方程初等解法及其求解技巧畢業(yè)論文-文庫吧資料
2025-07-03 14:53本頁面
【正文】 ()2xdy?代入原方程，得,??dxuf1??是變量分離方程.類型 7：形如 ()??byaxd??其中 、 滿 足 ）的方程.??????可令 ，方程 ()化為齊次方程1?zy ，???????????????bxzdxz?1事實上 ，()ydzdxx???由于，???? bzxbzz ???所以 ，???axdz??1即 ，????????????????bxzxz?再設(shè) ，zu?變量分離求解方程是一種相當(dāng)簡潔的解法，也是最基本的解法，求解變量可分離的9微分方程，關(guān)鍵是在正確的分離變量與計算不定積分，要理解隱式解存在的根據(jù)是隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，并應(yīng)該注意不要遺漏可能存在的常數(shù)解.對于比較復(fù)雜的方程，需經(jīng)過變量替換或等價變形使之轉(zhuǎn)換成變量分離方程，最后利用變量分離求解，變量代 換是求解一階微分方程的一種重要方法，在一階微分方程的初等解法中具有重要的作用. 常數(shù)變易法常數(shù)變易法是求解一階非齊次線性常微分方程的重要方法，即將常數(shù)變易為待定函數(shù)，通過 求解待定函數(shù)的表達式進而求出原方程通解，常數(shù)變易法實際上也是一種變量變換方法，通過變換可將方程化為變量分離方程. 一階線性非齊次微分方程的常數(shù)變易法對于一階線性齊次方程 ，它的通解 為 .從此出發(fā)，將通解0)(???yxp???dxpcey)(中的任意常數(shù) 換成待定函數(shù) ，假 設(shè)cu （）??dxpe)(為一階線性非齊次方程 （） )(xqyp???的解，為了確定 ，將（）代入（）的左邊，得到)(xu. ????dxpeuyxp)()(從而得到，)()()(qdxp????即，??dxpeu)()(積分后得到 ，cdxeqxp???)()(其中 代入（）中，得到方程（）的通解為c)(u.))()()( cxeeydpdxp??? 這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，通常被稱為常數(shù)變易法. 例 解方程 .xdyy??)1(210 解 方程變形為 ，令 ，則3xyd??2??z，dxy3代入變形方程為，xzz2??利用常數(shù)變易法，其中 ， ，則它的通解為xp2)(?q)(，2xcz??代回原來的變量 ，得到 ,即原方程的通解為y221?.cxy??42此外，方程還有解.0y 一階非線性微分方程的常數(shù)變易法個別的一階非線性微分方程，可用常數(shù)變易法求解，下面介紹四種形式非線性微分方程的常數(shù)變易法，包括齊 次方程、 貝努力方程和黎卡提方程等的常數(shù)變易法. （）xyd?對這種方程的解法，在一般教科書中都是首先把它化為可分離變量方程，然后根據(jù)可分離變量方程的解法去解，在這里我們可以直接用常數(shù)變易法求解.根據(jù)常數(shù)變易法，先求出原方程“對應(yīng)”的齊次方程 的通解為xyd?,cxy?再令11 （）xcy)(?則有 ，??)()(xcgxc??即 ，即 .??xcgd)()(???dxcg?)(兩邊積分就可以求出 ,然后再代入（），便得原方程的通解.例 求方程 yyxtan???解 將方程改寫為 ，可以求得它 “對應(yīng)”的齊次線性方程 的通dt? xyd?解為 ，再令 ，代入原方程可得cxy?xcy)(,)(tan)(xcdxc?即 ，xc)(tan兩邊積分得 （其中 是任意常數(shù)），cx?)(sin代回變量，得原方程的通解為 （其中 是任意常數(shù)）.cxy?sin2 伯努利微分 （）nyxQpdxy)(?其中 , 為 的連續(xù)函數(shù), .對于伯努利方程，在一般的教科書上都是先把)(xPQ(0,1n?它化為線性方程，然后根據(jù)線性方程的求解方法去解，在這里我們直接用常數(shù)變易法去求解.根據(jù)常數(shù)變易法，先求它“對應(yīng)”的齊次線性方程 的通解yxpd)(?.??xpcey)(12令 ,代入（ ）得，??dxpecy)(，???????dxpndxpdxp ecQecec )()()()(即 ，???dxpn)(1()()所以，eQxcddxpnn???? )(1()]([)解得，1)(1(])1[() ?????ndxpnc所以（）的通解為.1)(1()( ])1[ ??????ndxpndxp ceQey利用此公式可求出任一伯努利方程的通解.例 求方程 的通解.xyd?6解 可以判斷此方程為伯努力方程，這里 ， ， ,原方程“ 對應(yīng)”xp6)(?xQ?)(2?n的齊次方程為，xyd6?其通解為 ，令 ，代入原方程化 簡得 ,6cxy?6)(xcy 126)()(xcxc???即 ，即72)()(dxc?.dxc72)(??則 ，所以原方程的通解為cxc??8)(1（其中 c 為任意常數(shù)）.xy??826133．黎卡提方程 )()(2xRyQxPdy??（） 一般來說，這一類方程一般來說沒有初等解法，不過，若知道其一特解 ，經(jīng)變換1y后，方程就變?yōu)椴Ψ匠蹋??卡提方程
醫(yī)療健康相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1